Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек A (x_A, y_A) и B (x_B, y_B). Нам требуется найти координаты x_C и y_C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении, где — некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении «. Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство =). Обратим внимание, что в этом случае точка, А является как бы началом отрезка, а точка В — его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении, то будет выполняться равенство =. Очевидно, что при = 1 точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и. Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,.

= (x_A, y_A) и = (x_B, y_B).

Найдем координаты вектора, которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства.

= + и = + = ;

Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении, то =, откуда модуль |AC| = |CB|. Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что 0, поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство =. Подставив в него = -, имеем = (). Тогда равенство = + можно переписать как = +(), откуда в силу свойств операций над векторами получаем.

= (+).

Осталось вычислить координаты вектора.

= (+),.

выполнив необходимые и в координатах. Так как.

= (x_A, y_A) и = (x_B, y_B),.

то +=(x_A+x_B, y_A+y_B),.

следовательно,.

= (+)=(,).

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении, находятся по формулам.

x_C= и y_C=.