Критическое напряжение и гибкость стержня

Найдем критическое напряжение для стержня, шарнирно опертого, но концам (см. рис. 16.1):

Напомним из курса сопротивления материалов, что момент инерции можно представить как произведение.

где г — радиус инерции сечения стержня,.

Подставляя вместо /величину (16.10) в формулу (16.9), получим.

Обозначим.

Эта безразмерная величина носит название гибкости стержня. Она учитывает длину / и основную характеристику сечения г, определяемую через момент инерции и площадь сечения по формуле (16.11).

Подставляя формулу (16.12) в выражение для критического напряжения, получим.

Вернемся теперь к формуле критической силы (16.8). Ее удобно привести к виду.

или.

где.

Величина р/ = /₀ называется свободной длиной стержня, ар — коэффициентом свободной длины, который позволяет длину стержня с любыми закреплениями на концах заменить длиной шарнирно опертого стержня.

Характеристическое уравнение и его решение

В предыдущем параграфе была рассмотрена простейшая задача, в которой критическая сила определялась из простого равенства sin а/ = 0. В более общих случаях при удовлетворении граничным условиям будем получать систему линейных однородных уравнений типа.

Здесь Z/, i = 1,2,…, n — некоторые неизвестные величины; й, у — коэффициенты, обусловленные особенностью системы, а также методом решения задачи.

Система однородных уравнений (16.16), т. е. уравнений без свободных членов, имеет нетривиальное (не нулевое) решение в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а иногда — уравнением устойчивости, из которого и находится критическая сила или критический параметр, определяющий критические нагрузки.

Рассмотрим пример определения критической силы для стержня с неподвижной опорой вверху и заделкой внизу (рис. 16.5). При изгибе стержня в верхней опорной связи возникает реакция R; изгибающий момент в произвольном сечении.

Рис. 16.5.

Дифференциальное уравнение изгиба будет

Вместо однородного уравнения (16.2) мы получили неоднородное уравнение (16.18), решение которого будет состоять из решения однородного уравнения.

и частного решения.

которое удовлетворяет уравнению (16.18). Окончательное решение будет.

Граничные условия: 1) при х = 0 у = 0; 2) при х = 1у = 0; 3) при х = I dy/dx = 0. Первые два условия дают А = 0; /Icos аI +.

_. , RI _Л Гdy

+ /ism а/ + —т-г, = 0; из третьего условия имеем — =.

а Е] dx ,

^J _R ^Jx=l

= -/lasin а/ + fiacos а/ н—у— = 0.

^а щ

Мы получили три однородных уравнения. Характеристическое уравнение (16.17) для данной задачи, составленное из коэффициентов при неизвестных А, В и R, будет.

Если определитель равен нулю, то каждый из его столбцов и каждую из строк можно сокращать на любую величину, лишь бы она сама была отлична от нуля. На основе этого проведем следующие преобразования: 1) умножим третью строку на /; 2) сократим третий столбец на l/(o²EJ). Тогда получим.

Раскрыв определитель, получим sin а/ - а/cosa/ = 0, откуда.

Полученное характеристическое уравнение решается путем подбора. Проделав вычисления, найдем а/ = 4,4934, после чего легко найти критическую силу Р_кр = 20,19EJ/1².

Коэффициент свободной длины (16.15) для данного случая р = 7t/V20,19 ~ 0,7.