Непрерывные случайные величины

Следующий класс случайных величин, который наряду с дискретными случайными величинами часто встречается в приложениях, — это непрерывные случайные величины. Случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если существует функция f (x) непрерывная, за исключением, быть может, конечного числа точек, удовлетворяющая при любых х равенству.

Функция /(.г) называется плотностью распределения вероятностей. Ее график иногда называется кривой распределения. Рассмотрим некоторые свойства плотности распределения.

Свойство 2.5. Плотность вероятностей /(х) неотрицательна и.

Доказательство. Так как F'(x) = f (x) в точках непрерывности f (x) и функция F (x) нс убывает, то /(.г) > 0. На основании (2.12) имеем

Из (2.11) следует

Геометрический смысл равенства (2.12) состоит в том, что вероятность Р (х < ?, <-*2) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной /(х) и прямыми у = 0, х = х и х = х₂ (рис. 2.4).

Пусть х~2 = Xj + dx, где dx достаточно мало. Тогда из (2.13) следует, что Р (х < ?, < Х + dx) ~ f (x)dx. Другими словами, вероятность того, что случайная величина примет значение,.

Рис. 2.4 Рис. 2.5

принадлежащее интервал}' (x_t, Х| + dx), приближенно равна произведению плотности, вычисленной в точке Х, на длину интервала dx (рис. 2.5).

Свойство 2.6. Пусть/(х) — плотность распределения вероятностей. Тогда

Доказательство. По определению и свойству 2.3 имеем.

Пример 2.7. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины ?,.

Найти:

• а) коэффициент а;
• б) функцию распределения случайной величины
• в) вероятность попадания случайной величины в интервал (0, я/3]. Решение, а) Для нахождения параметра а воспользуемся свойством 2.6. Имеем

Таким образом, а = 1.

б) Пусть х < 0. Так как при этих значениях х имеем /(х) = 0, то При 0 < х < л/2 имеем.

Если х > л/2, то аналогично Таким образом,.

Ее график представлен на рис. 2.6.

Рис. 2.6.

в) Искомую вероятность находим по свойству 2.5.

Имеем.

Замечание 2.1. Если Х — точка непрерывности функции распределения 77 (х), то.

В самом деле, так как событие {xj < < х₂) можно представить в виде объединения двух несовместных событий {?, = *!> И {х_{ <^< Х₂}, то.

При переходе к последнему равенству учтен тот факт, что Х — точка непрерывности FAx) и поэтому по свойству 2.4 Щ = х,) = 0.

На рис. 2.7 в качестве примера дано графическое изображение ряда распределения биномиально распределенной случайной величины.

Пример 2.8. Равномерное распределение.

Говорят, что случайная величина ?, имеет равномерное распределение на отрезке [", А], если ее плотность распределения вероятностей равна.

Рис. 2.7.

+оо Очевидно, что | p (x)dx = 1. Найдем функцию распределения.

— ОО случайной величины ?. По определению.

Так как р (х) = 0 при х < а, то и F (x) = 0, если х < а. Пусть а<�х< Ь, тогда.

если х > Ь, то.

Таким образом.

График F (x) изображен на рис. 2.8, а, а график р (х) — на рис. 2.8, б.

Пусть интервал [с, d с [а, !> Найдем вероятность того, что случайная величина ?, примет значение из интервала [с, d|. По формуле (2.12) имеем.

Рис. 2.8.

Пример 2.9. Непрерывная случайная величина Е, называется распределенной по показательному закону с параметром к > 0, если ее плотность распределения вероятностей равна.

Найдем функцию распределения показательного закона. Легко видеть, что при х < 0 F (x) = 0. Пусть х > 0.

Таким образом

На рис. 2.9 изображены графики плотности р (х) и функции распределения F (x) показательного закона.

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по показательному закону, в интервал [а, Ь], а > 0. По формуле (2.12).

Пример 2.10. Говорят, что случайная величина? имеет нормальное или гауссовское распределение с параметрами а и а, если плотность ее распределения вероятностей равна Нормальное распределение с параметрами а и сг кратко обозначают в виде N (a, а²). Гауссовское распределение с параметрами а = 0, а² = 1 называется стандартным нормальным распределением. График плотности нормального распределения Л'(0, 1) изображен на рис. 2.10. Заметим, что график функции с плотностью распределения Л^г(0, 1) симметричен относительно 0.

Рис. 2.10.

Функцию распределения нормального распределения Л'(0, 1) находим по формуле

Имеются таблицы функции распределения и плотности распределения стандартного нормального распределения Л^г(0,1). Эти таблицы позволяют также находить вероятности, связанные с нормальным распределением с произвольными параметрами а и о. В самом деле, пусть ?, — случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами а и о². Найдем, например, вероятность события {.ri < Е, < х₂}. По свойству 2.5 имеем.

Сделаем замену переменой интегрирования тогда.

В частности из (2.14) следует.

В практических приложениях часто используют следующее правило «трех сигм»: пусть ?, — нормально распределенная случайная величина с параметрами а и о². Найдем вероятность события.

По формуле (2.14) имеем.

Поэтому вероятность противоположного события.

— с/1 > Зет} равна Р{|?, — а > За} ~ 0,0027, т. е., если ?, — случайная величина с распределением N (a, а²), то событие {|^-а|>За} можно считать практически невозможным [12−15].