Вывод формулы Эйлера для сжатого прямолинейного стержня

Рассмотрим шарнирно закрепленный стержень при центральном сжатии силой Р (рис. 16.1). Предположим, что стержень слегка искривился и отклонение его оси на расстоянии х от начала координат равно у.

Изгибающий момент в этом сечении будет М = Ру. Дифференциальное уравнение для данного случая при выбранных осях координат.

Рис. 16.1.

Обозначив.

получим уравнение.

Решением этого уравнения будет.

Для определения постоянных Ли В служат граничные условия: при х = 0 у = 0 и при лг = / г/ = 0.

Из первого условия вытекает, что А = 0 (так как cos ост при х = 0 не равен нулю). Следовательно,.

Таким образом, стержень изгибается по синусоиде. Второе условие проводит к равенству Bsin al = 0. Это условие выполняется в двух вариантах — при В = 0, тогда нет изгиба, что нас не интересует, и при sin а/ = 0, что возможно при аI = л, 2л,…, пл.

Рис. 16.2.

На основании обозначения (16.1) получаем

откуда.

Различным значениям критических сил соответствуют свои формы изгиба. В первом случае стержень изгибается, но одной полуволне синусоиды, во втором — по двум полуволнам и т. п. (рис. 16.2).

Для практических целей определяется только одно, минимальное значение критической силы.

Большие критические силы _кр, k = 2, 3,…, п_} представляют только теоретический интерес и при реальных расчетах не определяются.

Отметим, что величину В, входящую в уравнение изгиба.

(16.3), определить не удается. Объясняется это тем, что дифференциальное уравнение (16.2) является приближенным. Точное уравнение, как было установлено в курсе сопротивления материалов, имеет вид.

Из анализа равновесия стержня, изображенного на рис. 16.1, при использовании нелинейного уравнения (16.5) установлено, что критическая сила будет также равна Р_кр = = n²EJ/l²; при значении силы, несколько превышающем Р_кр, величины прогибов можно определить только с использованием нелинейного уравнения (16.5). Для определения критических сил в дальнейшем будем исходить из линейных уравнений, что позволит определять точные значения критических сил. Величины перемещений в этом случае останутся неопределенными.

Рассмотрим теперь другие способы закрепления стержней. На рис. 16.3 показан стержень, заделанный одним концом. Оси координат поместим па свободном конце изогнувшегося стержня. При таких осях координат одно из граничных условий будет таким же, как в первой задаче. При х = 0 у = 0, поэтому полученное ранее уравнение изгиба (16.3) останется в силе. На втором конце прогиб уже не будет равен нулю, а будет равен нулю угол поворота в заделке. Следовательно, при х = I dy/dx = 0. Для использования этого условия по уравнению (16.3) найдем.

Отсюда получаем (при a В ^ 0) характеристическое уравнение cos a/ = 0, следовательно, (a/)_min = тг/2 и.

Для стержня с двумя заделками (рис. 16.4) значение критической силы приведем без вывода:

Рис. 16.3.

Рис. 16.4.

Сравнивая формулы (16.4), (16.6) и (16.7), замечаем, что для всех стержней можно записать одну обобщенную формулу.

Коэффициент К для каждого случая закрепления концов стержня имеет свое значение.