Алина дуги плоской кривой

Пусть незамкнутая кривая АВ на плоскости Оху задана уравнением у =/(дг), где / (х) — функция с непрерывной производной на отрезке [а, Ь. Разделим кривую АВ на п произвольных частей; соединив соседние точки хордами, получим вписанную в АВ ломаную, длину которой обозначим через /. Пусть /_у — длина одной хорды ломаной (рис. 12.15), а ц = тах{/,}.

Определение 2. Число I, равное пределу при 0 длины ломаной, вписанной в дугу АВ, называется длиной этой дуги плоской кривой:

Теперь исходя из этого определения выведем формулу для длины дуги плоской кривой. Координаты точек Л/, разбиения дуги на многозвенную ломаную равны [х_{,/(Х|)1, где а = а₀ < х, < х₂ <…< х_п = Ь. Длина I. одного звена равна.

По формуле Лагранжа имеем: откуда

Следовательно, длина всей ломаной, вписанной в дугу АВ, равна.

В правой части этого равенства стоит интегральная сумма для непрерывной на отрезке [а, Ь функции у] + f'(x)f. Так как, А < ц (А = max {Да }), предел /.

l&i&n ¹

при, А —> 0 существует и равен определенному интегралу, который и представляет собой длину дуги А В:

Рис. 12.15.

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями а* = <�р (/), у = у (г), а < t < р, (р (а) = а, (р (р) = b, то в интеграле (12.41) нужно сделать замену переменной, а = <�р (/), dA = <�р'(/) d/. С учетом вида производной от функции, заданной параметрически, В случае, когда кривая АВ задана в полярных координатах уравнением р = р (ф), а < (р < р, при условии существования непрерывной производной р'(ф) на отрезке [а, р) нужно перейти от полярных координат к прямоугольным координатам по формулам (12.37). Тогда получим параметрические уравнения кривой АВ с параметром ф:

Так как.

после подстановки в формулу (12.42) и приведения подобных получаем:

Рассмотрим примеры вычисления длин дуг.

Пример 12. Найти длину дуги кривой у — In cos х при 0 < х < л/6.

Решение. Вычисляем производную .у' = - tgx и подставляем се в формулу (12.41):

Пример 13. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды (см. рис. 12.9). х = а (/ - sin /), у = а (1 — cos /), 0? /? 2л.

Решение. Из параметрических уравнений находим: ф'(/) = а (1 — cos /), ф' (/) = = a sin /; используя формулу (12.42), получаем:

Пример 14. Вычислить длину дуги кардиоиды р = а (1 + cos ф), 0 < ф < 2л (см. рис. 12.14).

Решение. Поскольку кривая симметрична относительно полярной оси, найдем длину половины дуги, т. е. при 0? ф < л. Используя формулу (12.43), получаем:

получаем формулу для длины дуги: