Анализ уравнений. 
Нарушение причинности в специальной теории относительности. 
Теорема об изохронном тахионе

Рассмотрим частный случай уравнения, когда одна из систем отсчета неподвижна, например, vA = tg? A = 0:

Теперь для примера вычислим значения скоростей тахиона для нескольких частных случаев «круглых» скоростей движения ИСО В — 0,6с и 0,8с:

Скорость тахиона в этих случаях точно равна, соответственно, трём и двум скоростям света.

Найдём теперь скорость тахиона в предельном случае, когда обе ИСО находятся в покое, то есть vA=vB=v=0.

Для разрешения неопределенности деления 0/0 найдём обратную величину этого отношения (скорости тахиона):

Следовательно, скорость тахиона vT в этом случае стремится к бесконечности. Следует заметить, что это не совсем верно — как такового обмена тахионов в этом случае нет, поскольку обе системы слились в одну. В этом случае правильнее говорить о двух равных изохронах, но в разных системах отсчета, разнесённых пространственно. В этом случае между двумя покоящимися системами тахион должен двигаться с бесконечно большой скоростью, чтобы показания часов были равными.

Второй предельный случай — скорость движущейся ИСО равна скорости света.

Скорость тахиона в этом случае будет также равна скорости света:

Итак, теорема утверждает, что для заданных скоростей обменивающихся систем все мировые линии изохронных тахионов параллельны друг другу.

Наглядно показать это можно на динамических флэш-диаграммах Минковского:

Рис. 2. Обмен изохронными тахионами в три разные момента времени. Каждый кадр диаграммы соответствует своей паре систем t' и t'' (А и В). Запуск анимации — кнопка справа внизу рисунка.

Изохроны показаны синими гиперболическими кривыми. Желтыми линиями показаны мировые линии света. Красным цветом выделены мировые линии изохронных тахионов, соответствующие каждой из изохрон. Точки a и b — начало и конец мировой линии одного из тахионов в одноименных ИСО, А и В. Точка c — время соответствующей изохроны Tizo. Каждый кадр флэш-диаграмм Минковского относится к соответствующей паре движущихся систем отсчета. Крайние кадры относятся к случаю неподвижности одной из ИСО и скорости другой, близкой к скорости света. В этих случаях скорости изохронных тахионов также имеют скорости, близкие к скорости света. На среднем кадре диаграммы (симметричное положение систем отсчета) скорости систем отсчета разнонаправленны и равны друг другу.

В этом случае мировые линии изохронных тахионов горизонтальны и их скорости, согласно (1), равны бесконечности:

В числителе разность стремится к нулю, в знаменателе она равна нулю точно (более высокий порядок малости). Решить неопределённость можно, как и выше, вычислением обратной величины скорости:

Откуда делаем вывод, что скорость тахиона равна бесконечности. Интересен случай, когда обе скорости ИСО стремятся к какому-либо определенному значению, не равному нулю или скорости света (единице). В этом случае, мировая линия тахиона стремится к касательной к изохроне в точке пересечения её мировыми линиями ИСО. Мировая линия такого тахиона является хордой на изохроне. Поэтому при сближении мировых линий ИСО хорда вырождается в касательную.

Уравнение касательной нас интересует только в части её наклона, который равен производной от уравнения изохроны:

Точка, в которой мы вычисляем наклон касательной, это точка пересечения мировых линий ИСО (они совпадают) и изохроны:

Подставляем это значение в уравнение производной в искомой точке:

Заканчивая преобразования, получаем:

Значение производной мы нашли как зависимость времени t от расстояния x.

Скорость же тахиона является обратной величиной, то есть:

изохронный тахион относительность.

Это значит, что скорость тахиона между двумя ИСО, движущимися с одинаковой скоростью, имеет значение, обратное по величине скорости этих ИСО. Если, например, обе ИСО неподвижны, то, как показано выше, скорость тахиона будет равна бесконечности. Для ИСО, движущихся со скоростью света (близкой к ней), скорость тахиона также будет равна скорости света (незначительно превышать её). Отметим, что эти результаты является предельными, поскольку при равенстве скоростей этих систем отсчета они сливаются, и как такового обмена тахионами между ними быть не может, мировая линия тахиона вырождается в мировую точку.

Доказанную теорему можно сформулировать и в ином виде. Теорема: на семействе гиперболических кривых вида y2=x2+a2 хорды, отсечённые центральными лучами, параллельны.