Нелинейные уравнения установившегося режима

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя или генератора узловой ток задается в следующем виде:

;

где — сопряженная заданная мощность трех фаз k-го узла; - сопряженный комплекс междуфазного напряжения k-го узла; - нелинейный ток, зависящий от напряжения.

Если мощность нагрузки потребителя задана статической характеристикой, то нелинейный ток источника определяется следующим выражением:

;

где , — статические характеристики активной и реактивной нагрузок k-го узла.

Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах для системы переменного тока из четырех узлов можно записать следующим образом:

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид, аналогичный (9.20):

.

где — комплексная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей; - вектор-столбец задающих токов, k-й элемент которого определяется выражением (_47); - вектор-столбец, k-й элемент которого равен; - заданное напряжение балансирующего узла.

Каждое из записанных уравнений (_49) соответствует балансу комплексных токов в узле. Поэтому будем называть уравнения (_49) и (_50) уравнениями узловых напряжений в форме баланса токов. Система из трех комплексных уравнений узловых напряжений может быть заменена системой из шести действительных уравнений. Три действительных уравнения соответствуют балансу активных токов в узлах, а три — балансу реактивных токов.

Уравнения (_49) записаны для трех независимых узлов, в каждом из которых заданы Р и Q нагрузки. В систему (_49) не входит уравнение балансирующего (четвертого) узла. Уравнение баланса тока для балансирующего узла является следствием соответствующих уравнений для трех независимых узлов. Матрица производных системы уравнений, записанной для всех узлов, включая балансирующий, вырождена. Именно этим объясняется необходимость введения балансирующего узла, уравнение которого не включается в систему независимых нелинейных уравнений установившегося режима.

Если один из узлов—балансирующий по реактивной мощности, то его уравнение баланса реактивных мощностей (или токов) не входит в число независимых уравнений узловых напряжений. В общем случае может быть не один, а несколько балансирующих узлов. После решения системы независимых уравнений все Рг и Qг для балансирующих узлов и Qг для балансирующих по Q узлов определяются из уравнений баланса активных и реактивных токов для этих узлов, не входящих в число независимых уравнений узловых напряжений.

Уравнения узловых напряжений часто используются в форме баланса мощности, которые можно получить, если каждое уравнение баланса токов (_49) умножить на сопряженный комплекс напряжения соответствующего узла. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока из четырех узлов можно записать следующим образом:

Эту систему можно записать в матричной форме следующим образом:

.

где — диагональная матрица, k-й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения k-го узла; - вектор-столбец сопряженных мощностей в узлах, k-й элемент которого равен заданной сопряженной мощности k-го узла.

Матричное уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей (_52) можно получить в результате умножения матричного уравнения баланса токов (_50) слева на диагональную матрицу .

Чтобы получить алгебраическое уравнение баланса мощностей, необходимо уравнение баланса токов (_50) умножить на сопряженный комплекс напряжения узла.

При учете емкостных проводимостей линий собственная проводимость узла включает половины емкостных проводимостей всех линий, соединенных с данным узлом. При расчетах режимов на ЭВМ применяют уравнения узловых напряжений, учитывающие комплексные коэффициенты трансформации.