Диск без центрального отверстия со свободным внешним контуром

Рассмотрим диск без центрального отверстия со свободным внешним контуром. Поперечное сечение диска представлено на рис. 12.14.

Рис. 12.14. Эпюры напряжений во вращающемся диске без центрального отверстия со свободным внешним контуром.

Отметим, что значения интенсивности усилий в центре диска (при г = 0) ограничены. Отсюда следует, что С₂ = 0. Тогда формулы (12.46)—(12.48) запишутся в следующем виде:

Постоянную С, определим, используя граничное условие на внешнем контуре диска (при г = b):

Подставляя значение константы С, в формулу для радиального перемещения, находим.

Используя формулы (12.34) и (12.49), определяем значения напряжений в радиальном и окружном направлениях:

где V = соb — линейная скорость точек на контуре диска.

Эпюры напряжений представлены на рис. 12.14. Опасными являются центральные точки диска. Согласно формуле максимальных касательных напряжений условие прочности запишется в виде.

Определим допускаемую скорость вращения диска:

Диск без центрального отверстия с жестко закрепленным внешним контуром. Рассмотрим диск, внешний контур которого, в отличие от предыдущей задачи, жестко закреплен (рис. 12.15).

Используя условие равенства нулю перемещения на внешнем контуре, находим при г = Ь:

Рис. 12.15. Эпюры напряжений и перемещений во вращающемся диске с жестко закрепленным внешним контуром.

Соответствующие эпюры представлены на рис. 12.15.

Диск с центральным отверстием и свободными внутренним и внешним контурами. Рассмотрим диск с центральным отверстием (рис. 12.16), на внутреннем и внешнем контурах которого нормальные напряжения радиального направления равны нулю.

Рис. 12.16. Эпюры напряжений во вращающемся диске с отверстием в центре.

Условия для определения постоянных интегрирования запишутся в следующем виде:

• при г = а

• при г=Ь

В результате решения системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными получим.

С учетом этого результата получим.

Соответствующие эпюры представлены на рис. 12.16.

Представляет интерес рассмотрение некоторых частных случаев этой задачи.

Тонкое кольцо. В случае тонкого кольца (а ~ Ь) находим: ст_г= 0; ст_; = pV².

Значения нормальных напряжений в окружном направлении совпадают с результатом, полученным при непосредственном рассмотрении кольца (12.33). Что же касается равенства нулю нормальных напряжений в радиальном направлении, то ранее оно было принято как допущение. Здесь же такой результат получен непосредственно решением задачи.

Диск с малым центральным отверстием. Представляет интерес случай диска с отверстием малых размеров (Ь а) в центре (рис. 12.17).

Рис. 12.17. Эпюры напряжений во вращающемся диске с малым отверстием в центре.

Сравним друг с другом эпюры напряжений для двух дисков одинаковых размеров, отличающихся друг от друга отсутствием и наличием малого отверстия в центре (рис. 12.14 и 12.17). Отмечаем, что эпюры в основном повторяют друг друга. Различие проявляется только в малой окрестности центра. Для диска с отверстием радиальные нормальные напряжения резко уменьшаются и достигают нулевого значения на контуре отверстия. Что касается нормальных напряжений окружного направления, то они возрастают, достигая значения, в два раза превышающего такое же напряжение в диске без отверстия.

Такое резкое местное увеличение напряжений называется концентрацией напряжений. Оно случается в упругом теле, как правило, в местах изменения его формы. Для рассмотренной задачи можем установить соответствующее эквивалентное напряжение и сформулировать следующее условие:

Допускаемое значение угловой скорости вращения составит.