Площадь поверхности сектора шара

Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. Сферическую поверхность, или «шапочки»; см. рис. 14). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:

.

откуда находим для площади шапочки формулу.

.

Площадь поверхности шарового пояса

Шаровым поясом (см. рис. 13) называют сферическую поверхность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сферических шапочек:

.

Или.

.

где h—высота слоя. Итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара зависит только от высоты соответствующего слоя, но не от его положения на шаре.

Как и при изучении предыдущего материала, я хочу показать одну задачу на данную тему.

Задача. Боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Найти высоту конуса, если радиус шара равен .

Решение. Введем для удобства угол, а между высотой и образующей конуса (рис. 18). Найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения.

,.

.

Площадь боковой поверхности конуса равна.

.

По условию задачи имеем уравнение.

.

откуда для получается квадратное уравнение.

; ;

решая его, имеем для два значения:

,.

которым отвечают два условия поставленной задачи:

.

Ответ:, .