Диаграмма Ньютона. 
Приводимые и неприводимые многочлены

Для построения диаграммы Ньютона многочлена по заданному простому необходимы:

• 1) Координатная плоскость (- горизонтальная, а — вертикальная оси);
• 2) Линейка, гвозди, молоток;
• 3) Немного терпения.

Потому что сначала наносится основа — каждому одночлену из становится в соответствие точка с координатами; - это наибольшая степень числа, при которой делится на. Набор всех таких точек и есть основа диаграммы. На рисунке 1 — основа многочлена.

При. Свободный член делится на, но уже не делится на — имеем точку (0;2), делится на — точка (1;1), даёт точку (2;2).

Внимание! Если, то точку основы вообще не наносим.

В нашем случае, не даёт точку основы.

Если не делится на, то и точка попадает на ось OK.

В нашем случае и не делятся на, делится на, делится на (см. рис. 1).

Рисунок 1.

Будем считать, что вместе со старшим коэффициентом у многочлена не равен нулю и свободный член. Иначе всегда приводим и поэтому нам не интересен. На плоскости OKM, таким образом, будут нанесены по крайней мере две точки: начальная точка основы — у нас (0;2) — и её конечная точка -(7;2).

А теперь диаграмма (рис.2). Берём молоток и вбиваем гвозди во все точки основы, затем приставляем линейку вертикально к гвоздю, вбитому в начальную точку. Вращаем её против часовой стрелки, пока она не упрётся в другой гвоздь основы (у нас (1;1)). Соединяя эти точки отрезком, получаем первое звено диаграммы. Для получения следующего звена нужно вращать линейку вокруг второго гвоздя (1;1) до встречи с новой ночкой основы.

Вращаем линейку дальше и наносим остальные звенья, пока, наконец, не доберёмся до конечной точки основы и не получим последнее звено.

Диаграмма Ньютона готова и изображена на рисунке 2. Она представляет собой вогнутую вверх ломаную и всегда имеет хотя бы одно звено.

Лишние точки (у нас — (2;2)) не должны смущать читателя — во всяком стоящем производстве не обойтись без отходов.

О звеньях. Они бывают трёх сортов: составные, простые, примитивные.

Звено диаграммы Ньютона назовём простым, если кроме концов на нём нет других точек с целочисленными координатами. В противном случае, если таковые имеются внутри звена, будем называть его составным. Далее, простое звено назовём примитивным, если длина его проекции на горизонтальную ось OK равна единице.

Рисунок 2.