Соленоидальное векторное поле

Опр.1. Векторное поле, заданное в области Т, называется соленоидальным, если во всех точках этой области выполняется условие.

.

Соленоидальное поле называют также трубчатым. Ниже мы покажем, что в этом поле можно создать векторные трубки, которые описывают некоторые особенности векторного поля и обладают определенными свойствами.

В электростатике плотность электрических зарядов связана с напряженностью электрического поля соотношением.

.

где — электрическая постоянная. При отсутствии зарядов напряженность электрического поля образует соленоидальное векторное поле.

Рассмотрим векторную трубку. Для этого выделим замкнутый контур и проведем через него векторные линии, которые и образуют векторную трубку.

Определение 1. Интенсивностью векторной трубки называется поток векторного поля через поперечное сечение этой трубки.

.

Теорема 1. Интенсивность любой векторной трубки соленоидального векторного поля постоянна вдоль всей трубки.

Доказательство. Для показанного на рисунке элемента векторной трубки применим теорему Гаусса-Остроградского.

.

Интеграл по поверхности представим в виде суммы.

.

Интеграл по боковой поверхности равен нулю.

.

т.к.. Изменяя направление нормали в одном из сечений трубки.

.

получим.

.

Если в качестве вектора F выбрать скорость течения жидкости, то физический смысл этой теоремы заключается в том, что через любое сечение трубки за единицу времени протекает одно и то же количество жидкости.

Теорема 2. В соленоидальном поле векторные трубки не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля.

Доказательство. Допустим обратное, векторная трубка начинается в точке М.

Тогда из условия следует, что противоречит условиям теоремы.

Следовательно, векторные трубки либо замкнуты, либо начинаются и заканчиваются на границах области Т.