Практическое занятие 7. Матрицы

Вопросы для повторения

• 1. Транспонирования матриц.
• 2. Операции сложения и вычитания матриц.
• 3. Операции умножения и возведения в степень матриц.
• 4. Понятие обратной матрицы.

Задача 74.

Найти сумму матриц:

.

Решение:

.

Даны три матрицы:

, .

Найти матрицу .

Решение:

.

.

.

Найти произведение матриц и :

1., ;

• 2., ;
• 3., .

Ответ:

1., ;

• 2., ;
• 3., .

Способ нахождения обратной матрицы

Пусть — невырожденная матрица. Припишем к ней справа (или слева) единичную матрицу. Далее с помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы левая половина приводится к единичной матрице. Тогда сдвоенная матрица приобретает вид .

Для матрицы найти обратную матрицу и проверить равенство .

Решение:

При описанном выше способе нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы. Это будет вытекать из самой возможности приведения к .

Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы

Вопросы для повторения

• 1. Определитель — го порядка.
• 2. Свойства определителей.
• 3. Правила нахождения определителей — го порядка.
• 4. Понятие ранга матрицы.

Задача 78.

Упростить выражение: .

Задача 79.

Решить уравнение: .

.

Вычислить определитель: .

.

Для данной матрицы найти обратную.

• 1. методом исключения:
• 2. методом присоединенной матрицы.

Решение:

1.

;

2.; .

Решить матичное уравнение.

• 1. методом исключения;
• 2. методом обратной матрицы.

Решение:

1.

;

2. Введем обозначение, тогда уравнение запишется в виде. Умножив слева это уравнение на обратную матрицу, которая существует, поскольку .

.

Тогда .

Задача 83.

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение:

Используя формулу Саррюса, получим:

.

Задача 84.

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

.

Решение:

Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Полученная матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Задача 85.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров .

Решение:

Так как у матрицы A есть ненулевые элементы, то. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например .

Значит,. Вычислим миноры третьего порядка, окаймляющие :

;

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие, равны нулю, следовательно. Итак, .

Одним из базисных миноров является .