Естественные модели размеров и размерностей в категориях топологии

С естественнонаучной точки зрения [8] определения размерностей, и в сущности сводятся к следующим выражениям, придерживаясь терминологии и символики первоисточников:

• 1. Малая индуктивная размерность пространства Х равна n, если у каждой точки х есть сколь угодно малые окрестности, границы которых имеют размерность n-1 (в смысле). Размерность пустого множества? = 0.
• 2. Большая индуктивная размерность пространства Х равна n, если для любых его двух не пересекающихся множеств найдётся n-1- мерное замкнутое множество, разделяющее их. Также ?=0.
• 3. Размерность пространства Х, определяемая с помощью покрытий пространства Х, равна n, если минимальная кратность сколь угодно малых покрытий пространства Х равна n+1.

Таким образом, ни одно из этих утверждений, справедливых по существу нахождения величины размерности соответствующих пространств, не может являться определением размерности в логическом смысле, так как логически строгое определение категории, как это мы уже видели на примере определений категорий топологии [7] континуума, множества, многообразия, пространства, требует подведения определяемой категории под более широкое понятие, такую категорию, которая является более общей по отношению к определяемой, отличающейся от боле общего своими частными особенностями. В приведенных выше топологических определениях размерности указывается на принадлежность этой категории к числу, но не указывается нигде на особенности этого числа от других чисел, не являющихся размерностью (числом линий, поверхностей, точек…).

Так как в работе [8] мы обнаружили, что переходя от уровня к уровню (от вида к виду) иерархии движений, в каждом мире взаимодействие сводится к изменению величины некоторого параметра (расстояния, размера, количества, величины…), то есть: взаимодействие = движение = изменение качества = изменение величины некоторого параметра, то наш вывод, что изменение размерности — суть изменение количества независимых свойств системы (изменение качества системы) означает определение размерности как числа независимых свойств системы, которыми в частном и самом абстрактном случае могут служить в простейшем геометрическом смысле пространственные направления — оси координат, как это представляется на рис. 1 и рис. 2:

Рис. 1 Рис.2

Так как размерность является числом независимых свойств, то в случаях гомогенных миров, когда все направления изотропны, можно за координаты принимать геометрические направления под 90^О, то есть применить ортогональную систему координат, так как, а, позволяя проекциям осей друг на друга превращаться в 0, то есть обеспечивать «независимость». Именно этот смысл — независимость — несёт на себе наше изображение на рис. 1 и рис. 2 дополнительного свойства по оси под 90^о к заданному направлению уже известного свойства (длины, ширины…).

В случаях гетерогенных миров, когда направления анизотропны, такие условия «независимости» обеспечить невозможно, поэтому и условия «ортогональности» теряют своё значение, в этих мирах координаты по своему происхождению, по своей природе, «по определению» независимы. Например, — в законах газового состояния и т. п. А в общем смысле могут быть любые, принимаемые за независимые параметры, как это мы полагаем, например, в функциональных пространствах (PVT закон состояния газов) и т. п., где при углубленном подходе можно показать взаимную зависимость избранных базисных осей-параметров…(вспомним из предисловия в работе [1]:

) (1).

В качестве наглядной иллюстрации изложенных суждений воспользуемся нашим примером на рис. 3 изменения размерностей из работы [5]:

• 1. К 1-мерной линии (метр) добавляем новое направление — образуется двумерная плоскость (м²).
• 2. К 2-мерной плоскости (м²) добавляем новое направление — образуется трёхмерный объём (м³).
• 3. К 3-мерному объёму (м³) добавляем новое направление-свойство — давление (Па) — образуется функциональное пространство — изотермический процесс по закону Бойля — Мариотта.
• 4. К 3-мерному объёму (м³) добавляем новое направление — температуру (^оК) — образуется функциональное пространство — изобарический процесс по закону Гей-Люссака.

Рис. 3

5. К трёхмерному объёму (м3) добавляем два новых направления — температуру (оК) и давление (Па) — образуется функциональное пространство — процесс по закону Клайперона-Клаузиуса-Менделеева Перечисление подобных примеров можно продолжать неопределенно долго, но уже из сказанного можно вполне обоснованно заключить, что всякий раз увеличение размерности путём добавления нового независимого направления приводит к образованию Рис. 3 (Рис. 8 по [8]) нового качественного состояния системы — функциональному пространству, характеризуемому новой величиной, выраженной в соответствующих новых единицах измерения!

Так как единицы измерения длины — одномерной категории не могут быть использованы для измерения площади поверхности — двумерной категории, требующей новых единиц измерения — единиц площади, которые не могут применяться в трёхмерной категории — объёмных телах и т. д., то мы вправе представить себе, что все возможные единицы измерения, как проявления свойств соответствующих категорий являются атрибутом своих категорий, существуют, то есть содержатся в самом понятии категории: способность длины иметь определенную величину в соответствующих единицах длины, способность площади поверхности иметь определенную величину в единицах площади, способность объёма тела иметь определенную величину в единицах объёма и т. д., и т. п.