Понятие определенного интеграла

Введение

понятия определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке. Выполним следующие операции: разобьем отрезок точками на частичных отрезков.

; в каждом из частичных отрезков выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке:; найдем произведения, где — длина частичного отрезка; составим сумму.

которая называется интегральной суммой функции на отрезке .

С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рисунок 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка; найдем предел интегральной суммы, когда .

Рисунок 1.

Таким образом,.

В этом случае функция называется интегрируемой на. Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, — подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции, снизу — осью, слева и справа — прямыми и (рисунок 2).

Рисунок 2.

Определенный интеграл.

от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, слева и справа — отрезками прямых и, снизу — отрезком оси .