Дискретные и непрерывные случайные величины

Определение 1. Случайная величина X называется дискретной, если множество значений, которое она может принимать не более чем счетно, то есть либо конечно либо счетно. (Множество называется счетным, если каждому элементу можно поставить в соответствие число натурального ряда).

Пусть X — дискретная случайная величина принимает значение при этом будем предполагать, что все попарно различны.

Определение 2. Рядом распределения дискретной случайной величины X называется совокупность пар чисел, где — возможные значения случайной величины, а p_i — вероятности, с которыми она принимает эти значения. События образуют полную группу попарно не совместных событий. Ряд распределения можно представить в виде таблицы (Табл.3.3.1) или многоугольника распределения (Рис. 3.3.1).

Табл. 3.3.1.

Зная ряд распределения, либо многоугольник распределения можно построить функцию распределения случайной величины (Рис. 3.3.2), которая является исчерпывающей характеристикой случайной величины X.

Отметим, что величина скачка в точке, являющейся возможным значением случайной величины, равна вероятности p_i того, что случайная величина Х примет значение x_i.

Пример. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Построить ряд распределения для числа попаданий в мишень (см. Табл.3.3.2).

Х — число попаданий в мишень при трех выстрелах.

Табл. 3.3.2.

В качестве другого важного класса случайных величин можно выделить непрерывные случайные величины.

Определение 3. Распределение случайной величины X называется непрерывным, если существует такая, интегрируемая функция, что выполняется условие.

Функция f(x) называется плотностью вероятности (плотностью распределения вероятности) или дифференциальным законом распределения.

Свойства плотности распределения.

• 1) — не отрицательная функция.
• 2) Если F(x) — дифференцируемая функция, то

3) Вероятность того, что случайная величина будет находится в пределах определяется соотношением.

4).

Плотность распределения, так же как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. Однако она не является универсальной характеристикой случайной величины, так как существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с плотностью распределения f(x) (Рис. 3.3.3).

Выделим элементарный участок dx. Вероятность попадания величины Х на этот участок f(x)dx называют элементом вероятности.