Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Явный метод Эйлера

Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в следующем общем виде:

Уравнение (12.1) следует дополнить начальным условием: Запишем для уравнения (12.1) явную разностную схему:

Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием явной разностной схемы (12.2) называется явным методом Эйлера.

Разностная схема (12.2) имеет первый порядок аппроксимации по времени. Для её решения используется рекуррентное соотношение:

Рассмотрим конкретный пример:

Явная разностная схема для уравнения (12.3) имеет вид:

Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода:

Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на Х^п, и выражаем X:

С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем:

В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим более подробно левое условие:

Полученное выражение является условием устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (12.3).

Таким образом, явный метод Эйлера является условно устойчивым и относится к методам с первым порядком точности.