Нелинейная регрессия. 
Анализ временных рядов

Линейное суммирование произвольных функций. В Mathcad имеется возможность выполнения регрессии с приближением к функции общего вида в виде весовой суммы функций fn (x):

f (x, Kn) = K1· f1(x) + K2· f2(x) + … + KN· fN (x),.

при этом сами функции fn (x) могут быть любого, в том числе нелинейного типа. С одной стороны, это резко повышает возможности аналитического отображения функций регрессии. Но, с другой стороны, это требует от пользователя определенных навыков аппроксимации экспериментальных данных комбинациями достаточно простых функций.

Реализуется обобщенная регрессия по векторам X, Y и f функцией linfit (X, Y, f), которая вычисляет значения коэффициентов Kn. Вектор f должен содержать символьную запись функций fn (x). Координаты xk в векторе Х могут быть любыми, но расположенными в порядке возрастания значений х (с соответствующими отсчетами значений yk в векторе Y). Числовые параметры функций f1-f3 подбирались по минимуму среднеквадратического отклонения.

Регрессия общего типа. Второй вид нелинейной регрессии реализуется путем подбора параметров ki к заданной функции аппроксимации с использованием функции genfit (X, Y, S, F), которая возвращает коэффициенты ki, обеспечивающие минимальную среднеквадратическую погрешность приближения функции регрессии к входным данным (векторы Х и Y координат и отсчетов). Символьное выражение функции регрессии и символьные выражения ее производных по параметрам ki записываются в вектор F. Вектор S содержит начальные значения коэффициентов ki для решения системы нелинейных уравнений итерационным методом.

Типовые функции регрессии Mathcad. Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad самостоятельно. К ним относятся следующие функции:

expfit (X, Y, S) — возвращает вектор, содержащий коэффициенты a, b и c экспоненциальной функции.

y (x) = a· exp (b·x) +c.

В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a, b и c первого приближения. Для ориентировки по форме аппроксимационных функций и задания соответствующих начальных значений коэффициентов на рисунках слева приводится вид функций при постоянных значениях коэффициентов a и c.

lgsfit (X, Y, S) — то же, для выражения.

y (x) = a/(1+c· exp (b·x)).

pwrfit (X, Y, S) — то же, для выражения.

y (x) = a· xb+c.

sinfit (X, Y, S) — то же, для выражения.

y (x) = a· sin (x+b) +c.

Подбирает коэффициенты для синусоидальной функции регрессии. Рисунок синусоиды общеизвестен.

logfit (X, Y) — то же, для выражения.

y (x) =a· ln (x+b) +c.

Задания начального приближения не требуется.

medfit (X, Y) — то же, для выражения.

y (x) = a+b· x,.

т.е. для функции линейной регрессии. Задания начального приближения также не требуется. График — прямая линия.

Как можно видеть из сопоставления методов по среднеквадратическим приближения к базовой кривой и к исходным данным, известность функции математического ожидания для статистических данных с ее использованием в качестве базовой для функции регрессии дает возможность с более высокой точностью определять параметры регрессии в целом по всей совокупности данных, хотя при этом кривая регрессии не отражает локальных особенностей фактических отсчетов данной реализации. Это имеет место и для всех других методов с заданием функций регрессии.