Аксиомы прямой и расстояния: что можно определить с их помощью

В последующем учащиеся знакомятся с группами аксиом. Первая группа аксиом — это аксиомы прямой и следствие из них.

• 1.1. Для каждой прямой существует сколько угодно точек, принадлежащих этой прямой, и сколько угодно точек, не принадлежащих ей
• 1.2. Через любые две различные точки можно провести прямую и только одну

Следствие. Если прямые, а и b имеют более одной общей точки, то они совпадают.

Вторая группа аксиом (аксиомы расстояния):

• 2.1. Существует расстояние, равное единице.
• 2.2. Расстояние между двумя точками всегда находится единственным образом (при выбранной единице измерения).
• 2.3. Если точки, А и В различны, то расстояние АВ положительно. Если две точки совпадают, то расстояние между ними равно нулю.
• 2.4. Отношение двух расстояний остается всегда постоянным, оно не зависит от выбора единицы измерения.

Для того, чтобы ввести понятия, в частности понятия отрезка, равных отрезков, длины отрезка, окружность, хорда окружности и др., вводятся первая аксиома третьей группы (аксиома о трех точках прямой).

3.1. Одна из трех точек, принадлежащих некоторой прямой, обязательно лежит между двумя другими (рис. 1.3).

На основе сообщенных групп аксиом вводятся понятия:

Отрезком АВ называется множество точек, состоящее из точек, А и В и всех точек X, лежащих между ними. Точки, А и В называются концами отрезка, точка Х — внутренней точкой отрезка (рис. 1.4).

Если расстояния АВ и CD равны, то отрезки АВ и CD называются равными.

Длиной отрезка АВ называется расстояние АВ.

Серединой отрезка АВ называется точка О, делящая отрезок АВ на два равных отрезка.

Окружностью с центром O и радиусом R называется множество всех точек плоскости, удаленных от центра O на расстояние, равное R.

Рисунок Окружность.

Радиусом окружности называют также любой отрезок, соединяющий центр с точкой окружности.

Хордой окружности называют отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.

Два отрезка называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку, которая является внутренней точкой каждого отрезка.

Четырехугольником ABCD называется фигура, состоящая из четырех отрезков AB, BC, CD и DA, из которых никакие два не пересекаются и не лежат на одной прямой.

Рисунок Четырехугольники.

Вершинами четырехугольника называются точки A, B, C и D, сторонами четырехугольника — отрезки AB, BC, CD и DA. Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон.

Аксиомы используются не только для построения определений понятий, с их помощью можно решать задачи.

Задача 1. (Решите без выполнения чертежа!).

Астроном, наблюдая в телескоп три космических объекта Х, Y и Z, определил расстояния между ними в астрономических единицах (1а.е."150 000 000км). Расположены ли эти объекты в данный момент наблюдения на одном отрезке, если ХY=3а.е., YZ=4а.е., ХZ=5а.е.

Дано: ХY = 3 а. е., YZ = 4 а. е., ХZ = 5 а. е.

Требуется: установить, расположены ли точки Х, Y и Z на одном отрезке.

Решение:

• 1) Для того чтобы космические объекты Х, Y и Z оказались расположенными на одном отрезке, необходимо, чтобы сумма двух меньших расстояний была равна большему расстоянию;
• 2) проверим, выполняется ли это требование: 3 а. е. + 4 а. е.? 5 (а. е.);
• 3) значит, эти космические объекты не расположены на одном отрезке.

Ответ: космические объекты Х, Y и Z не лежат на одном отрезке.

Задача 2. Пусть даны те же самые космические объекты, что и в предыдущей задаче. Лежат ли эти космические объекты в момент наблюдения на одной прямой?

Вы, вероятно, уже догадались, какой ответ надо дать: данные объекты не лежат на одной прямой. Эта догадка правильная. А как провести ее доказательство?

Попытаемся это сделать. Посмотрим, к каким выводам можно прийти, допустив, что данные объекты лежат на одной прямой. Если по допущению они лежат на одной прямой, тогда по аксиоме 3.1 один из них лежит между двумя другими. Может ли, например, объект Х лежать между объектами Y и Z? Так как YX+XZ=3+5?4, т. е. YX+XZ ?YZ, то приходим к выводу: объект X не лежит между Y и Z.

Аналогично убеждаемся в том, что Y не лежит между X и Z и Z не лежит между X и Y. Получили противоречие с аксиомой 3.1.Оказалось, что из трех точек, принадлежащих прямой, никакая точка не лежит между двумя другими! Противоречие получено из-за того, что сделано неправильное допущение (данные объекты лежат на одной прямой). Значит, космические объекты не лежат на одной прямой. (Заметим, что при доказательстве использовался метод, который называется методом от противного).