Построение статистического ряда и гистограммы

Задание 1

Произведено n независимых наблюдений над нормально распределенной случайной величиной Х, характеризующей процент выхода бракованных изделий с технологической операции.

Результаты опыта сведены в таблицу 1.

Построить статистический ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалы с = 0,95.

Построить статистический (вариационный) ряд и гистограмму, найти оценки для математического ожидания и дисперсии, построить соответствующие доверительные интервалу для = 0.95.

Преобразуем выборку в форму статистического (вариационного ряда).

Здесь:

k = 1 +3.2* lg19 = 5,09 5;

= = = 0.608.

Найдем m_i. Для этого сформируем интервалы разбиения (m_i — число попаданий в интервал). Результаты сведем в таблицу 2.

Вычислим и оформим таблицу 3.

Построим гистограмму Вычислим и.

= 15.144 * 0.105 + 15.752*0.263 + 16.36*0.263 + 16.968*0.21+17.576*0.158 16.376.

= [(-1.232)²*0.105 + (-0.624)²*0.263 + (-0.016)²*0.263 + (0.592)²*0.21+ (1.2)²*0.158].

[0.159 + 0.102 + 0.0 + 0.074 + 0.228] 0.594.

Тогда вариационный гистограмма дисперсия математический.

0.771.

Построим доверительный интервал для.

= n — 1 = 19 — 1 = 18; = 0.95;

q = 100*(1 — 0.95) % = 5%.

Используем таблицу распределения Стьюдента:

t_кр 2.1, тогда.

t_кр = 2.1 0.371.

тогда доверительный интервал для будет.

I = (16.376 — 0.371; 16.376 + 0.371) = (16.005; 16.747).

Построим доверительный интервал для.

Вычислим Р₁ и Р₂

Р₁ = 1 — = 0.975,.

Р₂ = 0.025.

По Таблице критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат», зная Р₁, Р₂ и = 18, найдем.

8.23; 31.53.

Вычислим (n — 1) 180.594 10.692.

Тогда.

(0.48; 3.4).

Ответ: 16.376; 0.594; I = (16.005; 16.747); I (0.48; 3.4).

Задание 2

Использовав выборки наблюдений заданий работы № 1, выровнять статистические ряды с помощью нормального распределения. При построении гистограмм проверить разбивку интервала изменения случайной величины Х на 6 частей.

= = = 0.50|6|.

Найдем m_i. Для этого сформируем интервалы разбиения (m_i — число попаданий в интервал). Вычислим. Результаты сведем в таблицу 4.

Построим гистограмму (рис. 1).

Учитывая вид гистограммы, выберем в качестве теоретического закона нормальный закон распределения, тогда функция плотности вероятности запишется в виде.

f (x) = (6).

Используем метод моментов, для этих целей вычислим.

= = 15.0935*0.105 + 15.6*0.158 + 16.1065*0.263 + 16.6135*0.21 + 17.12*0.105 + 17.6265*0.158 16.36.

=[1.2665²*0.105 + 0.76²*0.158 + 0.2535²*0.263 + 0.2535²*0.21 + 0.76²*0.105 + 1.2665²*0.158] 0.62.

= 0.79.

Приравнивая = m_x и = _x получим теоретическую кривую в виде.

f (x) =.

Построим график этой кривой для этого вычислим значения f (x) в граничных точках разбиения на интервалы.

Результаты вычислений сведем в таблицу.

Изобразим график на рис. I. Получим плавную кривую плотности вероятности нормального распределения.

Вычислим вероятности попадания случайной величину в i — й интервал. Для нормального закона.

= (7).

Функцию (Лапласа) находим по таблице. Результаты сведем в таблицу вида.

Вычислим значение ²:

² = 19 = -18.13.

Вычислим уровень значимости по заданной доверительной вероятности.

q = 100(1 —) = 5%.

По Таблице критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат» найдем = 9.39.

Проверим неравенство ² <

² = -18.13 < 9.39 =.

Неравенство выполняется.

Можно считать, что случайная величина Х, определяемая первоначальной выборкой, не противоречит гипотезе о нормальности ее распределения с плотностью вероятности.

f (x) =.

Задание 3

Выпуск некоторым предприятием промышленной продукции Y (млн. руб.) по годам X характеризуется данными таблиц.

Найти зависимость Y и X в виде параболы и проверить ее адекватность с доверительной вероятностью =0,99.

Составим систему нормальных уравнений вида (5) при m = 2; n = 12.

Для вычисления коэффициентов при составим вспомогательную таблицу.

Тогда систему нормальных уравнений можно записать так.

для решения этой системы сначала разделим числовые коэффициенты каждого уравнения на коэффициенты при, получим.

решаем систему по правилу Крамера.

тогда.

; ;

Уравнением регрессии будет.

Y = 3.56 + 1.85X 0.09X²

Так как уравнение регрессии нелинейно, то будем вычислять корреляционное отношение по формуле (7).

Найдем.

Для удобства опять воспользуемся таблицей.

Величина корреляционного отношения близка к 1 (по критерию Стьюдента = 3.1693), предполагается, что теоретический коэффициент корреляции равен нулю, т. е. не значим.

Проверим значимость полученного корреляционного отношения при.

m = 2; n = 12.

Тогда.

т.к. = 0.99 то q = 1%.

По таблице критериев Фишера для ₁ = 2; ₂ = 9; q = 1% находим F_КР = 6.93 и т.к. 221.63 > 6.93, то полученный критерий значим.

Для наглядности построим графики регрессионного уравнения и отложим точки исходной статистики.

Уравнение регрессии.

Y = 3.56 + 1.85X 0.09X²

адекватно описывает исходную статистику и может быть используемо для дальнейших исследований.

Задание 4

Произведено по пять замеров на четырех автоматах, обрабатывающих ролики. Ролики были измерены по диаметру. В таблицах приводятся отклонения в мм от номинального размера диаметра ролика для каждого из автоматов. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий замеров для каждого автомата. = 0.95.

= = 0.658;

= = - 0.266;

= = 0.54.

= = 0.24.

= = 0.293.

Q_A = 5 [(0.658 — 0.293)² + (- 0.266 — 0.293)² + (0.54 — 0.293)² + (0.24 — 0.293)² ] 2.548.

Q_R = (0,96 — 0.658)² + (0,41 — 0.658)² + (0,35 — 0.658)² + (- 0.62 — 0.658)² + (2.19 — 0.658)² +.

+ (- 0.77 + 0.266)² + (0.12 + 0.266)² + (0.14 + 0.266)² + (- 1.66 + 0.266)² + (0.84 + 0.266)² +.

+ (0.89 — 0.54)² + (0.44 — 0.54)² + (- 0.11- 0.54)² + (0.65 — 0.54)² + (0.83 — 0.54)² +.

+ (0.52 — 0.24)² + (0.22 — 0.24)² + (1.52 — 0.24)² + (- 1.14 — 0.24)² + (0.08 — 0.24)² = 12.26.

_R = mn — m = 45 — 4 = 16;_a = m — 1 = 4 — 1 = 3.

= = = 0.766; = = = 0.849.

F_P = = 1.108.

q = 100(1 — 0.95)% = 5%.

По таблице критериев Фишера при _A = 3; _R = 16 и q = 5%, F_кр = 3.24.

F_p < F_кр — H₀ принимается.

Средние значения замеров по приборам различаются незначительно.