Способы записи чисел. 
Исторические источники о математике, известные современности

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост потребностей вел людей по пути все большего расширения понятия о числе и счете. Возникла необходимость каким-либо образом записывать свои «открытия».

Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или на костях либо узелков на веревках. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на лучевой кости молодого волка длиной 18 см в виде 55 зарубок, расположенных по 5, причем после 25 зарубок идет длинная черта (рис. 1). Эта кость была найдена около деревни Вестонице в Моравии (Чехословакия) в 1937 г. и относится к XXX в. до н.э.; кость служила, по-видимому, для записи трофеев доисторических охотников.

Рис. 1. Лучевые кости волка с нанесенными на них зарубками (от 25 тыс. до 30 тыс. лет назад)

Зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых хранится у должника, а другая у кредитора, пользовались в Западной Европе даже в XIX в. (рис. 2).

Рис. 2. Долговые (счетные) бирки с нанесенными на них зарубками

О распространении записей при помощи зарубок свидетельствует известное выражение «заруби себе на носу». Инки записывали свои долговые обязательства с помощью узелков на цветных веревках — перуанских квипу (рис. 3).

Аналогичные квипу встречались у землевладельцев некоторых районов Китая и Японии еще в нашем столетии.

А каковы были принципы изображения чисел при помощи цифр у разных народов? Такое обозначение, называемое нумерацией (от латинского numerous — число), первоначально было основано на так называемых аддитивном (от латинского addition — сложение), субстрактивном (substractio — вычитание) и мультипликативном (multiplicatio — умножение) принципах.

Аддитивный принцип состоит в том, что вводятся несколько основных знаков, например для 1, 10, 100, а остальные числа вида изображаются соответственным знаком, повторенным n раз. Аддитивная нумерация непосредственно отражает инструментальный счет с палочками, ракушками или другими предметами. На аддитивном принципе построены названия чисел племен островов Торресова пролива, рассмотренные выше. Субстрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр, где, означает, разность, а мультипликативный принцип — в том, что сочетание цифр означает произведение этих чисел. Оба эти принципа применяются и в названиях чисел: на мультипликативном принципе основаны названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в частности, русские названия 20, 30, 50−80, и 200−900, с субстрактивным принципом связано слово «девяносто», возникшее в результате «скрещения» первоначального названия этого числа «девятьдесят» и выражения «10 до 100». Еще более нагляден этот принцип в финском языке, где названия 8 — kahdeksan и 9 — ьhdeksan представляют собой сокращения выражений — «2 (kaksi) до 10» и «1 (ьksi) до 10».

Классическим примером применения аддитивного и субстрактивного принципов является применяемая и в настоящее время римская нумерация: римские цифры II, III, VI, VII, VIII, XX, XXX и т. д. основаны на аддитивном принципе, а римские цифры IV, IX, XL — на субстрактивном принципе.

Затем, когда началось образование государств, стали появляться новые способы записи чисел. Так, например, в Древнем Египте велось иероглифическое письмо (рис. 4), а в Древнем Вавилоне — клинописное письмо на глиняных табличках (рис. 5).

Рис. 4. Египетские цифры: верхние две строки написаны иероглифами; нижняя строчка написана иератическими знаками

Рис. 5. Вавилонские клинописные цифры

Рис. 6. Геометрическая задача «Московского папируса»

Самыми известными историческими источниками математических знаний, сохранившимися до настоящих времен, являются так называемый «Московский папирус» (рис. 6), относящийся к эпохе около 1850 г. до н. э. и папирус Ахмеса, найденный и приобретенный английским ученым Райндом (рис. 7), эпохи 1700 г. до н.э., по объему больше «Московского», из Древнего Египта; множество глиняных табличек с клинописными текстами из Древнего Вавилона (рис. 8).

Рис. 7. Фрагмент папируса Ахмеса с геометрическими задачами

Рис. 8. Клинописная числовая таблица