Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка

Прежде всего условимся переменные и считать разнонаправленными; это значит, что с равным основанием можно рассматривать как функцию от или как функцию от. При этом нам придется уточнить определение особой точки. Возьмем уравнение. Точка (0,0) является для него особой, так как правая часть разрывна при. Если же считать функцией, а — независимой переменной и переписывать уравнение в виде, то точка (0,0) перестает быть особой, так как теперь правая часть, разумеется удовлетворяет всем условиям теоремы существования. Единственным решением этого последнего уравнения при заданном начальном условии будет функция. Интегральной кривой является парабола, касающаяся оси ординат в начале координат. Таким образом, через точку (0,0) проходит одна интегральная кривая, и нам нет смысла считать эту точку особой. То же самое можно сказать. То же самое можно сказать и о любой другой точке оси абсцисс.

Поэтому в дальнейшем будем считать особой только такую точку, в которой разрывные правые части обоих уравнений.

и .

Именно такой случай имеет место для уравнений.

и (2).

в начале координат. Функции в правых частях не имеют предела x и y к нулю.

Приведем несколько примеров использования уравнений типа (2).

Примеры.

1). Разделяя переменные и интегрируя, получим, откуда. Это уравнение семейства парабол; записав дифференциальное уравнение в виде, найдем еще два частных решения и. Все интегральные кривые проходят через особую точкуначало координат (рис. 2) такая особая точка называется узлом.

2). Общее решение имеет вид. Это семейство равнобочных гипербол; к нему следует добавить оси координат: y=0 и x=0 (рис. 3) такая особая точка называется седлом.

Аналогичная картина будет для решений и при >0.

3). Общее решение ;

(рис. 3).

Интегральные кривые — окружности с центром в начале координат (рис. 4). В этом случае особая точка называется центром; через нее не проходит ни одна интегральная кривая.

дифференциальный уравнение математика.

4) .

Замена приводит после.

простых преобразований к уравнению с разделенными переменными. Интегрируя и возвращаясь к, получим или .

Рис. 4.

В системе полярных координат уравнение имеет гораздо простой вид.

Это семейство логарифмических спиралей (рис. 5). Особая точка такого типа называется фокусом. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения (*) начало координат при любых значениях коэффициентов (если только) является особой точкой одного из указанных четырех типов: узел, седло, центр, фокус.

Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Задача Коши для уравнения (*) ставится следующим образом: задана точка, для которой. Требуется найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям

.

Достаточные условия существования и единственности задачи Коши дает Теорема существования и единственности решения Особым решением уравнения (*) на множестве I называется его решение, если через точку его графика проходит другое решение, отличное от него в сколь угодно малой окрестности этой точки, и имеющее ту же касательную.

Для существования особого решения необходимо, чтобы в области G нарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши, т. е. для непрерывно дифференцируемой функции необходимо.

(3).

Множество точек, удовлетворяющее условию называется p-дискриминантным множеством уравнения (*).

График особого решения уравнения (1) лежит в p-дискриминантном множестве.

Однако p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение:

• а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой,
• б) p-дискриминантное множество не обязано определять решение уравнения (*).

Для нахождения особых решений требуется:

• 1. найти решение (*);
• 2. найти p-дискриминантное множество, исключив параметр p из системы

;

• 3. отобрать те из решений уравнения (1), которые лежат в p-дискриминантном множестве;
• 4. для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения, т. е. проверить выполнение при условий касания

.

где — семейство решений (*), не совпадающих с .

Примеры решения задач.

Пример 1. Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые .

1. Вводим параметр. Тогда, или.

. (4).

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через, получаем, или, откуда .

Возможны два случая:

1). Из (4) получаем, что, следовательно, или .

2). Интегрируя, находим,. Подставляя в (4), определяем y:, или, или .

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений и.

.

Из второго уравнения системы следует, что, поэтому .

Так как — решение, то это кандидат в особые решения.

Рис. 6.

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение: .

Через точку проходит решение при, касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при .

Интегральные кривые представлены на рис. 6, где особое решение отмечено жирной линией.

Пример 2. Решить уравнение, найти особые решения, начертить интегральные кривые.

. (5).

1. Вводим параметр. Тогда, или.

.

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через, получаем, или, откуда .

Возможны два случая:

1). Из (5) получаем, что, следовательно .

2), или. Интегрируя, находим,. Подставляя в (5), определяем x:, или, или, или.

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив параметр p из уравнений и.

.

Из второго уравнения системы следует, что, поэтому .

Так как — решение, то это кандидат в особые решения.

Рис. 7.

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

следовательно, при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение:

.

Через точку проходит решение при, касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при .

Интегральные кривые представлены на рис. 7, где особое решение отмечено жирной линией.

Задачи для решения Решить уравнения, найти особые решения, начертить интегральные кривые:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ответы:

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение; .

— особое решение,, .

 — особое решение,, .

— особое решение, .

 — особое решение,, .

 — особые решения,.

 — особое решение, .

— особое решение, .

 — особые решения,.