Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных

При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение.

(a b) = a + b.

При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются.

;

При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени.

Погрешность разности: предельная абсолютная погрешность разности (u = x1 — x2) равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:

u = x1 + x2.

Отсюда предельная относительная погрешность разности.

где, А — точное значение абсолютной величины разности чисел х1 и х2.

Погрешность произведения: относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел:

1 + 2 + … + n .

Поэтому при вычислении произведения нескольких приближенных чисел применяют следующие правила:

• — округляют эти числа так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащие цифры больше, чем число верных значащих цифр в наименее точном из сомножителей;
• — в результате умножения сохраняют столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.

Погрешность частного: относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.

Пусть задана дифференцируемая функция u=(x1,x2, …, xn) и пусть xi — абсолютные погрешности аргументов функции.

Тогда предельная абсолютная погрешность функции может быть вычислена по формуле:

Предельная относительная погрешность функции вычисляется следующим образом: