Разработка оптимального выпуска продукции в условиях ограниченности ресурсов

Курсовая работа на тему «Разработка оптимального выпуска продукции в условиях ограниченности ресурсов».

по дисциплине «Математическое моделирование в экономике».

При известных нормах затрат ресурсов на производство единицы продукции, запасах ресурсов и ценах на продукцию определить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной выручки от реализации продукции. Для этого:

• 1. Составить экономико-математическую модель задачи и двойственную к ней. цена двойственный задача устойчивость
• 2. Решить исходную задачу и двойственную к ней используя пакет программирования.
• 3. Проанализировать полученные оптимальные решения прямой и двойственной задач, использую свойства двойственных оценок.
• 4. Определить границы устойчивости полученного решения.
• 5. Решить задачу и проанализировать решение при условиях изменения:
  • а) цен в границах устойчивости;
  • б) цен за границами устойчивости;
  • в) запасов ресурсов в границах устойчивости;
  • г) запасов ресурсов за границами устойчивости.
• 6. Найти и проанализировать решение задачи при дополнительных условиях: выпуск одного из видов нерентабельной продукции должен быть не менее 15, а выпуск одного из видов рентабельной продукции должен оставаться на уровне не менее 10 единиц.
• 7. Найти и проанализировать решение задачи реализации недефицитного и приобретения дефицитного ресурса, при условии цен на ресурсы: цена единицы первого ресурса — 5, второго — 3, третьего — 6, четвертого — 8 (усл. ден. ед.).

Согласно варианту задания № 1, норма расхода берется под 3-м вариантом, запасы ресурсов под 3-м вариантом и цена реализации берется под вариантом № 5.

Таким образом, получается следующая таблица.

Составим математическую модель исходной задачи. Найти оптимальный план выпуска продукции удовлетворяющий условиям:

Двойственная задача:

Найти оптимальные оценки ресурсов удовлетворяющие условиям:

Система ограничений на х характеризует использование ресурсов на производство продукции. Целевая функция z определяет стоимость произведенной продукции.

Ограничения двойственной задачи для y характеризуют оценки ресурсов на производство единицы каждого вида продукции. Целевая функция w характеризует оценку ресурсов.

Для решения воспользуемся программой QM для Windows, содержащей раздел линейного программирования. При задании условий укажем число ограничений (Number of Constraints) равное 6 (два резервных для ассортиментного выпуска продукции), и число переменных (Number of variables) равное 6 (одна резервная).

Рис. 1 Решение задачи пакетом QM for Windows

Рис. 2. Окно границ устойчивости параметров задачи

Рис. 3 Окно списка решения задачи

По рисунку 1 можно выписать оптимальное решение исходной и двойственной задачи:

Т.е. предприятие получит максимальную выручку в 464,4445 усл. ден. ед, если будет производить продукцию первого вида в объеме 76,6667 единиц, третьего 2,2222 ед. и откажется от производства продукции второго, пятого и четвертого вида ().

При таком производстве полностью будут израсходованы ресурсы первого и третьего вида, их остатки S₁=S₃=0. Остатки второго ресурса S₂=524,4445 и четвертого S₄=180. Пятый ресурс не используется вовсе.

Исследуем полученное оптимальное решение задачи по свойствам двойственных оценок.

1. Двойственная оценка как мера влияния на значение целевой функции Согласно решению, каждая дополнительная единица первого и третьего ресурса приведет к увеличению дохода соответственно на 1, 5556 и 0,3333 усл. ден. ед. С т. з вклада в целевую функцию, первый ресурс является более дефицитным, следовательно, при наличии нужно ориентироваться на увеличение дохода, в первую очередь, за счет первого ресурса.

2. Двойственная оценка как мера дефицитности ресурсов.

Согласно этому свойству оценка недефицитного (т.е. не полностью используемого) ресурса равна нулю, дефицитный ресурс имеет положительную оценку.

Проверим это свойство для первого и второго ресурса, подставив значение в первое и второе ограничения исходной задачи.

Остатки для второго ресурса, и для четвертого. Более дефицитным является второй ресурс, как имеющий более высокую оценку.

3. Двойственная оценка как мера эффективности выпуска продукции.

Предприятие выпускает продукцию первого и третьего вида, отказываясь от производства остальных видов продукции. Эффективность производства для первой продукции можно проверить, подставив значения y^* в первое ограничение двойственной задачи:

т. е. оценка ресурсов на производство продукции совпадает с ценой единицы этой продукции. Аналогично для третьего вида продукции. Оценка же ресурсов на производство единицы второго, четвертого и пятого видов продукции превышает цену за единицу на 5,7779; 4,6667 и 0,4444 усл. ден. ед. Данная продукция нерентабельна, при ее выпуске предприятие терпело бы убытки. Для включения в план данной продукции предприятие должно либо поднимать цену, либо снижать издержки.

4. Двойственные оценки как мера соизмерения затрат и результатов.

Вычислим значения целевых функций исходной и двойственной задач.

Исходя из полученных значений, можно увидеть, что эффект от выпуска продукции в оптимальном плане совпадает с затратами. Таким образом, можно определить план действий при формировании запасов ресурсов для дальнейшего производства, ассортимент выпускаемой продукции, наметить предприятия по переводу продукции из нерентабельной в рентабельную, и определить, как можно изменять цены на продукцию и запасы ресурсов без резкого изменения полученного оптимального решения. То есть определить границы устойчивости полученного решения.

На рисунке 2 можно увидеть границы изменения цен на продукцию и запасов ресурсов. Пока цена будет оставаться в указанных пределах, в базисе будут те же переменные и их значения тоже не изменятся.

Для проверки уменьшим цену на пятую продукцию до 3 (в границах устойчивости, от 0 до 4,44). План выпуска продукции при этом сохранился полностью и по ассортименту и по количеству. Доход при этом так же остался прежним.

Рис. 4 Окно результатов решения задачи с изменением c₅ в границах устойчивости

Проведем теперь анализ первоначального решения задачи при изменении запасов ресурсов (правых частей ограничений — RHS). Утверждается, что, как и в случае изменения цен, при изменениях в границах устойчивости базис останется неизменным, но значения базисных переменных изменится, т. е. сохранится ассортимент выпуска продукции. При этом y_i и l_j останутся без изменения. Изменим запас дефицитного ресурса третьего вида до 400 (не выходя за границы устойчивости), цены на продукцию заданы исходные.

Рис. 5 Окно результатов решения задачи с изменением c₅ за границами устойчивости

При изменении цены за границей устойчивости (15>4,4444) получаем оптимальный план Т. е. изменился и ассортимент выпуска продукции и значения оценок ресурсов.

Получим Изменение целевой функции произошло на увеличение, т. е. структура выпуска продукции в оптимальном плане осталась без изменения, но производство продукции — в другом количестве. Оценки ресурсов y_i остались неизмененными.

Изменим запас третьего ресурса за границами устойчивости. Положим b₃=600. Получим Рис. 6 Окно результатов решения задачи с изменением b₁ в границах устойчивости

План выпуска продукции изменился и по базису (ассортименту) и по количеству. Изменились также оценки ресурсов.

Рис. 7 Окно результатов решения задачи с изменением b₁ за границами устойчивости

Предположим, что полученное решение не устраивает с той точки зрения, что не производится 2-й вид продукции. В соответствии заданием выпуск продукции второго вида должен составить не менее 15 единиц. Кроме того, выпуск рентабельной продукции первого вида должен быть не менее 10. Таким образом, к системе ограничений исходной задачи добавятся два ограничения по ассортименту выпуска (). Эти ограничения вносятся в зарезервированные строки 5 и 6 ввода исходной информации.

Во второй таблице окна решений значения на 5 и 6 строках 2-го столбца означают превышение выпуска над заказом. Так как оптимальный выпуск x₂=20, то нет превышения над заказом и т. е. выпуск продукции превышен. Величина в 6-й строке 1-го столбца является оценкой «навязывания» выпуска продукции. Поскольку при выпуске продукции второго вида нет превышения над планов, величина отрицательная.

Если обратиться к свойствам двойственных оценок, то при внесении изменений по плану добавится следующее:

• 1. Дефицитность можно понимать, как отсутствие возможности (и необходимости) выпускать продукцию сверх заказа ().
• 2. Влияние на значение целевой функции увеличения плана на единицу соответствует величина оценки .

В нашем случае с выпуском каждой единицы нерентабельной продукции № 2 потеря выручки составит т. е. по сравнению с первоначальным .

• 3. Если эффективность выпуска продукции, не связанной с плановым заданием, определялась величинами, то будет показывать потери при перевыполнении плана. Если прежде характеризовало возможные потери при выпуске единицы второй продукции, то теперь, а потери из потенциальных превратились в реальные. Потерь при выпуске первой продукции нет ни реальных (), ни потенциальных ().
• 4. Поскольку значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, можно выписать

.

Из этого равенства видно, что включение в план рентабельной продукции (с) не изменит выручки, а «навязывание» выпуска убыточной продукции (с) приводит к снижению w, а следовательно, и z, т. е. выручки от реализации. Таким образом, в зависимости от конкретной ситуации можно закладывать новые требования в задачу, анализировать полученное решение и принимать определенную управленческую стратегию.

Задание: Найти и проанализировать решение задачи реализации недефицитного и приобретения дефицитного ресурса, при условии цен на ресурсы: цена единицы первого ресурса — 5, второго — 3, третьего — 6, четвертого — 8 (усл. ден. ед.).

Исследуем полученное оптимальное решение задачи по свойствам двойственных оценок.

1. Двойственная оценка как мера влияния на значение целевой функции Согласно решению, каждая дополнительная единица третьего ресурса приведет к увеличению дохода соответственно на 2,6667 усл. ден. ед. При приобретении дополнительно третьего ресурса производство расширяется, и дополнительный выпуск продукции влечет за собой увеличения дохода.

2. Двойственная оценка как мера дефицитности ресурсов.

Согласно этому свойству оценка недефицитного (т.е. не полностью используемого) ресурса равна нулю, дефицитный ресурс имеет положительную оценку. В решении поставленной задачи все ресурсы, кроме третьего, являются дефицитными.

320−320=0, оценка равно нулю, ресурс не в дефиците.

Дефицит оставшихся ресурсов составляет:. Самым дефицитным является второй ресурс, обладающий самой высокой оценкой.

3. Двойственная оценка как мера эффективности выпуска продукции.

Предприятие выпускает продукцию четвертого вида, отказываясь от производства остальных видов. Эффективность производства можно проверить, подставив значения y^* в первое ограничение двойственной задачи:

т. е. оценка ресурсов на производство продукции превышает цену единицы этой продукции на 4,6668 усл. ден. ед. Данная продукция нерентабельна, при ее выпуске предприятие терпело бы убытки. Для включения в план данной продукции предприятие должно либо поднимать цену, либо снижать издержки.

4. Двойственные оценки как мера соизмерения затрат и результатов.

Вычислим значения целевых функций исходной и двойственной задач.

Исходя из полученных значений, можно увидеть, что эффект от выпуска продукции в оптимальном плане не совпадает с затратами. Таким образом необходимо определить план действий при формировании запасов ресурсов для дальнейшего производства, ассортимент выпускаемой продукции, наметить предприятия по переводу продукции из нерентабельной в рентабельную, и определить, как можно изменять цены на продукцию и запасы ресурсов без резкого изменения полученного оптимального решения.