Вероятности ошибки для некоторых каналов с памятью

Как видно из рис. 1, б, набор P (j|k) (j, k=0,1, 2, .. ., q—1) переходных вероятностей q=2^v-ичного однородного канала без памяти полностью определяется набором из 2^v вероятностей конфигураций образцов ошибок в строках матрицы рис. 1 (предполагается, что эти наборы одинаковы для всех строк).

Таким образом,.

P (j|k)=P (e (j, k)), j, k=0,1,…, q-1,(2.9).

где e (j, k)=v_j? v_k, v_j и v_k — двоичные представления чисел j и k соответственно,? означает поэлементное суммирование по mod 2, P (e (j, к)) — вероятность появления образца ошибки в виде двоичного вектора e (j, k) длины v. Исследуемый q-ичный канал не имеет памяти, а наборы переходных вероятностей для каждого из передаваемых элементов одинаковы и заданы (2.9).

Далее будем рассматривать две основные модели вероятностей конфигураций двоичных ошибок Р (е):

квазибиномиальный канал Р (е)=Р (|е|), т. е. такой, что конфигурации ошибки зависят только от ее веса — |е| (физически этот случай соответствует весьма медленным замираниям, аппроксимируемым составным каналом, когда коэффициент передачи канала на длительности всех v символов можно считать случайной, но одинаковой величиной);

двоичный рэлеевский замирающий канал (РЗК) (здесь вероятность конфигурации зависит не только от ее кратности, а выражается сложным образом через первичные параметры непрерывного канала). Однако для любых конфигураций ошибок справедливы оценки (2.10).

P (e)R_s^-1, s=|е|, s=1,2,…, v,.

R_i=(2+h²) D_i-1-4r² D_i-2, D_i= D₁ D_i-1-4r² D_i-2, (2.10).

D₁=h²(1-r²)+2(1+r²), D₀=1.

Здесь h²=E/N₀ — отношение средней энергии принимаемого элемента сигнала к спектральной плотности аддитивного белого шума в непрерывном канале (этот параметр определяет среднюю вероятность ошибки символа p=1/(2+h²)); r — коэффициент корреляции коэффициентов передачи канала на соседних элементах, который определяет «силу» памяти в канале (если r=0, то память отсутствует, если r=1, то канал квазибиномиальный и составной), Р (е:|е|=0)P (v, 0), где P (v, 0) —вероятность безошибочного приема блока в составном РЗК, рассчитывается по следующей рекуррентной формуле:

P (v, 0) =, P (1,0) = (2.11).

Рассмотрим верхние границы вероятностей ошибочного декодирования (P_од) в таких каналах, а также их пропускные способности, используя известные соотношения. Представляет интерес выяснить, будет ли P_од убывать при увеличении параметра v=log₂q в каналах с сильной памятью при фиксированной длине кодового блока n_f и как будет вести себя пропускная способность q-ичного канала без памяти при увеличении параметра v. Напомним, что при двоичном кодировании блоковым кодом длины v в каналах с сильной памятью P_од очень слабо зависит от v.