Классическая задача оптимизации

Состоит в нахождении минимума целевой функции, где — точка в пространстве при начальных ограничениях типа равенств.

(3).

Если (3) имеют место, то минимум q (x) называется условным минимумом. Если ограничения (3) отсутствуют, то говорят о безусловном минимуме. линейный программирование задача Классический способ решения данной задачи состоит в том, что (3) используют для исключения из рассмотрения переменных. При этом целевая функция приводится к виду.

(4).

где через обозначены неисключаемые переменные. Задача теперь состоит в нахождении значений, которые обращают в минимум q1 и на которые не наложено ограничений (задача на безусловный экстремум).

Функция Лагранжа

Введём в рассмотрение вектор и исследуем свойства функции.

(5).

• — функция Лагранжа, — множители Лагранжа.
• — функция n+m переменных .

Рассмотрим стационарные точки функции, которые получим, приравняв к нулю частные производные по и по :

(6).

(7).

Если в стационарной точке (x*, y*) функция достигает минимума, то обеспечивает минимум функции q (x) и при выполнении ограничений (3), т. е. даёт решение задачи.

Задача на условный минимум целевой функции q (x) при наличии ограничений типа равенств сводится к задаче на определение стационарных точек функции Лагранжа .