Определенный интеграл.
Информационные технологии в юридической деятельности
Пример Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми х = 0, х = 2 и кривыми у = 2у = 2х — х2 (рис. 10.16). Последнюю формулу называют формулой Ньютона—Лейбница. Применяют также и такое обозначение. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования: Здесь числа awb называются нижним и верхним пределами интегрирования. Принято определенный интеграл обозначать так… Читать ещё >
Определенный интеграл. Информационные технологии в юридической деятельности (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Пусть у = f (x) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция и F (x) — ее первообразная. Тогда разность значений первообразной F (x) в точках b и а:
называется определенным интегралом функции f (xна отрезке [а, b].
Принято определенный интеграл обозначать так: f{x)dx. В соответст- ь а
вии с определением Jf (x)dx = F (b) — F (a).
Последнюю формулу называют формулой Ньютона—Лейбница. Применяют также и такое обозначение
Здесь числа awb называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Замечание 1. Формула Ньютона —Лейбница сохраняет и свою силу для функций f (x): а) не являющихся возрастающими и б) принимающих не только положительные, но и нулевые значения. Во всех случаях она задает площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, прямыми х = а, х — b и осью Ох.
Замечание 2. Если функция отрицательна, то площадь криволинейной трапеции, расположенной в этом случае под осью Ох, выражается интегралом со знаком «минус».
Замечание 3. К определенным интегралам могут приводить и другие задачи, не связанные с вычислением площадей. В любом случае на первый план выступает определение первообразной, знание которой позволяет вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона —Лейбница.
Свойства определенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
3. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования:
4. Теорема о среднем. Между точками an b имеется такая точка с, что Доказательство. По формуле Ньютона—Лейбница.
Ппименим к погжообпязной F (x rlionMv. nv Лягпанжа:
Вычисление площадей. Рассмотрим приложения интеграла к вычислению площадей, объемов. Если плоская фигура ограничена прямыми х = а, х = b (а < Ь) и кривыми у = ух(х), у = у2(х), причем г/,(.г) < у2(х) для всех х? а, Ь, то ее площадь вычисляется по формуле.
Пример Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми х = 0, х = 2 и кривыми у = 2у = 2х — х2 (рис. 10.16).
Рис. 10.16. Площадь плоской фигуры.
Решение. Так как максимум функции у = 2х — х2 достигается в точке х = 1 и равен 1, а функция у = 2х > 1 на отрезке 10, 21, то.
Как очевидно из решения этого примера, площадь заштрихованной области есть не что иное, как разность двух криволинейных трапеций.
В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой р = р (ф) и лучами <�р, = а и ср2 = р, выражается интегралом.
Вычисление объемов. Пусть у = /(х) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, /(х) > 0. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =/(х), у = 0, х = а, х = Ь. Можно доказать, что объем V этого тела выражается формулой