Теорема об изменении количества движения системы

Количество движения системы

Количеством движения системы называют векторную величину, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы.

. (16).

Рис. 13.

Пользуясь этим определением, найдем формулу, с помощью которой значительно легче уяснить смысл величины. Из равенства (2) следует, что.

.

Продифференцируем обе части по времени, получим:

или .

Отсюда находим:

. (17).

Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс. Формулой (17) удобно пользоваться при вычислении количества движении твердого тела.

Теорема об изменении количества движения

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек.

Теорема: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Для доказательства теоремы сложим почленно левые и правые части уравнений (11). Тогда получим:

mk .

Последняя сумма согласно свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,.

mk .

Окончательно находим:

. (18).

Уравнение (18) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме. Спроецируем обе части равенства (18) на координатные оси, получим:

,. (19).

Пусть в момент времени t = 0 количество движения системы равно, а в момент — равно. Тогда, умножая обе части равенства (18) на dt и интегрируя, получим:

Или.

. (20).

Уравнение (20) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме.

Проецируя обе части этого уравнения на координатные оси, получим:

,. (21).

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы.