Задание. 
Определение параметров обобщенной динамической модели методом статистического оценивания

Необходимо выполнить идентификацию статического объекта регрессионным методом наименьших квадратов (МНК) в случае аппроксимации опытных данных квадратичным полиномом. Исходными данными для задачи идентификации является конечный ряд экспериментальных значений входных величин объекта и соответствующие значения выходных переменных. Коэффициенты регрессии заданы в таблице 1.

Таблица 1.

Рекомендации по выполнению

Проиллюстрируем применение метода для решения задачи идентификации в случае аппроксимации опытных данных квадратичным полиномом при заданных коэффициентах регрессии =2,5, =-1,75, =5,06.

Критерий минимума среднеквадратичной ошибки в этом случае определяется функционалом:

Система уравнений для нахождения коэффициентов принимает вид:

;

Представим систему в матричном виде:

Решением системы являются искомые выражения для коэффициентов уравнения регрессии :

В дальнейшем, для удобства использования примем следующие обозначения:

, ,, , ,.

В соответствии с принятыми обозначениями, вектор оценок коэффициентов регрессии определяется как решение следующей системы:

Приведем программную реализацию рассмотренного метода.

a0=2.5; % точные коэффициенты регрессии.

a1=-1.75;

a2=5.06;

N=40;% размер выборки.

x=10*normrnd (8, 2, [N 1]); % моделирование входного воздействия.

v=0.1*randn (N, 1);% моделирование помехи в виде белого шума.

y=[a0+a1*x (1:N)+a2*x (1:N).^2+v (1:N)];

% моделирование выходного сигнала с учетом помехи.

% формирование по исходным данным суммирующих коэффициентов.

s1=sum (x (1:N));

s2=sum (x (1:N).^2);

s3=sum (x (1:N).^3);

s4=sum (x (1:N).^4);

s5=sum (y (1:N));

s6=sum (y (1:N).*x (1:N));

s7=sum (y (1:N).*x (1:N).^2);

R=[N s1 s2; s1 s2 s3; s2 s3 s4]; %формирование квадратной матрицы данных.

Y=[s5; s6; s7]; %формирование вектора данных.

betta=inv®*Y; % расчет оценок по МНК.

% рассчитанные оценки параметров.

betta =.

• 2.5237
• -1.7510
• 5.0600.

По результатам расчетов видно, что оценки параметров, полученные в условиях зашумленности исходных данных, обладают достаточно удовлетворительной точностью. Погрешность полученных оценок может быть уменьшена путем увеличения размера выборки, расширения диапазона входного сигнала и применением сглаживающих процедур.