Применение интегрирования. 
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Интегральное исчисление раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения к решению различных математических, физических и дру-гих задач. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Для операции интегрирования необходимо решить два вопроса: вопрос об осуществимости операции интегрирования и вопрос об единственности операции интегрирования. Перейдем к точным математическим формулировкам. Если задана функция f (x) то функция h (x), заданная для тех же значений аргумента, что и f (x), и удовлетворяющая условию h / (x)= f (x), называется интегралом функции f (x) или первообразной для функции f (x). Переход от заданной функции f (x) к функции h (x), удовлетворяющей уравнению h / (x)= f (x), является операцией интегрирования.

Интегрирование возникает в математике не только как операция, обратная к дифференцированию, но также и при решении многих других задач.

Интегрирование, как процесс нахождения решения дифференциального уравнения, имеет большое прикладное значениешироко используется в механике, астрономии, физике и других науках. Такое широкое применение интегрирования объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В медицинских приложениях:

Для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови других параметров гемодинамики;

Для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия и т. п.;

Для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.

Самая распространенная область, в которой применяются дифференциальные уравнения — математическое описание природных явлений. Также их применяют при решении задач, где невозможно установить прямую связь между некоторыми значениями, описывающими какой-либо процесс.

Такие задачи возникают в биологии, физике, экономике.

В биологии: Первой содержательной математической моделью, описывающей биологические сообщества была модель Лотки — Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону x? = -ax (a > 0), а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается в соответствии с законом Мальтуса. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому y? = by — dxy. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных жертв: x? = -ax + cxy (c > 0). Система уравнений: x? = -ax + cxy, (1) y? = by — dxy, (2) описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

В физике: Второй закон Ньютона можно записать в форме ДУ: m ((d²)x)/(dt²) = F (x, t), где m — масса тела, x — его координата, F (x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

В экономике: Модель естественного роста выпуска.

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q (t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ (t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т. е. I (t)=mPQ (t), (1) где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < т < 1.

Если исходить из предположения о полной реализации производимой продукции, то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска, причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т. е. Q? = lI, (2) где 1/l — норма акселерации. Подставив в (2) формулу (1), получим Q? = kQ, k=lmP. (3) ДУ (3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид Q = C^ekt, где С — произвольная постоянная.

Таким образом, дифференциальные уравнения имеют достаточно широкое применение в различных областях и тем более важным представляется решение данных уравнений, в том числе и интегрирование их с помощью рядов.