Задачи на использование процентов

В экономических и статистических расчетах, а также во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах (сотых долях). Это имеет свои практические удобства, ибо выражение частей чисел в одних и тех же (сотых) долях позволяет: быстро сравнивать величины частей числа со всем числом и между собой, упростить расчеты и в то же время добиться достаточной степени точности выражения частей величин целыми числами (в тех случаях, когда измерение в десятых долях было бы слишком грубым, а в тысячных — излишне точным). Наиболее часто проценты применяются при финансовых расчетах (банковское дело, доходы от облигаций госзаймов, вкладов в сберегательные банки и т. п.), а также при учете роста хозяйственной продукции, выполнения производственных планов, роста народонаселения и т. д. При финансовых расчетах число, показывающее, сколько процентов дохода в установленный срок (зачастую в год) приносит та или иная сумма, называется процентной таксой (ставкой), а сама сумма дохода — процентными деньгами. Для расчета процентных денег служат формулы простых и сложных процентов. Если проценты начисляются по отношению к исходной сумме, то такой метод называется методом простых процентов. Если проценты начисляются по отношению к величине, включающей первоначальную сумму и проценты, начисленные за прошедший период, то такой метод называется методом сложных процентов. Обозначим:

В — первоначальная сумма вклада;

t — период начисления процентов — время, по истечении которого начисляются процентные деньги;

р — ставка простого процента — доля вклада, которая начисляется вкладчику по истечению периода t;

Р — процентные деньги за весь срок использования вклада;

Т — срок использования вклада (банком);

n = Т/t — количество периодов начисления процентов за срок использования вклада;

S — сумма, образовавшаяся на вкладе к концу срока Т, тогда.

В? р — процентные деньги за один период начисления;

Р = В? р ? n — за срок использования вклада (за n периодов);

S = B + B? p? n = B (1+ p? n) — сумма, образовавшаяся к концу срока, -формула простых процентов, где (1+ p? n) — множитель наращивания простых процентов.

Эта формула означает, что рост первоначальной суммы вклада по простым процентам идет по закону арифметической прогрессии, первый член которой равен В, а разность — В? р. При этом сумма S = B + B? p? n является линейной функцией от n (при постоянном р). Наличие функциональной зависимости S (n) можно обозначить как Sn — сумма, образовавшаяся на вкладе после n раз начисления процентов: S n = B + B? p? n .

Метод сложных процентов означает, что проценты, полученные за период t, указанный в договоре о вкладе как период начисления процентов, прибавляются к первоначальной сумме вклада B и в следующий период t проценты начисляются уже на эту новую сумму В + В? р (или В (1 + р)). Таким образом, к концу второго периода размещения вклада сумма вклада, обозначим ее S2, будет составлять:

S2 = B (1 + p) + B (1+ p)(1+ p) = B.

Аналогично определяем, что к концу третьего периода.

а к концу всего срока T = t n использования банком вклада (когда пройдет n периодов t) сумма вклада (1). n S = Sn = B .

Эта формула называется формулой сложных процентов и означает, что рост первоначальной суммы вклада по сложным процентам идет по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен В, а знаменатель 1 + р. Величина n (1+ p) — это множитель наращивания сложных процентов. Функция S n= B (1+ p) — показательная относительно аргумента n.

К экономическим показателям, изучаемым в данном разделе, относятся:

1 N — количество продукции (объем реализованной продукции в натуральном выражении);

2 С — полная себестоимость реализованной продукции в условных денежных единицах — затраты, связанные с производством и сбытом продукции;

3 S = С: N — себестоимость единицы произведенной продукции;

4 М — рыночная цена произведенной продукции;

5 П = МN? C — прибыль (д. е.) — финансовый результат деятельности предприятия, определяется как разность выручки от реализации продукции и полной себестоимости реализованной продукции;

6 R = П: C ?100% — рентабельность производства продукции (%) — отношение полученной прибыли к себестоимости, выраженное в процентах. Уровень рентабельности — один из главных показателей экономической эффективности работы предприятий.

Примеры решения задач Некто планирует разместить в банке вклад в 10 000 руб. на длительный срок. Процентная ставка в банке — 10.

% годовых. Необходимо проанализировать возможный рост процентных денег на условиях простых и сложных процентов.

Решение. Имеем В = 10 000, р = 10% (или 0,1).

Результаты расчетов представим следующей таблицей.

Для большей наглядности представим на графике процесс наращивания процентных денег (данные таблицы за вычетом первоначальной суммы 10 000 руб.) при простых и сложных процентах.

Из таблицы и рис. 1 видно, что различие процентных денег при простых и сложных процентах с течением времени (с увеличением количества периодов начисления процентов) становится все более ощутимым и, если через 10 лет на простых процентах вклад удвоится, то на сложных увеличится почти в 2,6 раза.