Математические модели с распределенными параметрами

Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

Математические модели, основанные на экстремальных принципах

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.

Экстремальный принцип используется при аппроксимации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое изображение такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью.

y=(х).

Вид этой зависимости и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х. Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

Для решения этой задачи обычно применяется расчетный метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

Разумеется, перечисленные разновидности математических моделей не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела — физики элементарных частиц.