Основные понятия алгебры логики

Объектом логики как науки выступает абстрактное мышление. Логика изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира, исследует формы и законы, в которых происходит отражение мира в процессе мышления. Основными формами абстрактного мышления являются:

• — понятия
• — суждения,
• — умозаключение.

Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов: портфель трапеция ураганный ветер, (например, «дерево», «самолет») или группой слов, т. е. словосочетаниями, например, «студент гуманитарного института», «создатель художественных картин», «река Дон», «космический корабль» и др.

Суждение — мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Суждения являются повествовательными предложениями, истинными или ложными. Они могут быть простыми и сложными: Весна наступила, и грачи прилетели.

Пример сложного суждения: «Наступила осень, и лебеди улетают». Оно состоит из двух простых суждений.

Умозаключение — прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение. Есть несколько видов умозаключений. Все металлы — простые вещества. Литий — металл. Литий — простое вещество.

Все металлы — вещества. Железо — металл. Железо — вещество Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики.

Формальная логика — наука о законах и формах правильного мышления.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы;? — немодульного сложения; & (или ?) — умножения; - - равенства;? — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR);? — непревосходства суммы над 1 (то есть A? B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.

Логическое выражение Логическое выражение — это символическая запись, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками). В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные буквами латинского алфавита. Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности переменных:

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Как уже упоминалось, алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Логическое высказывание — любое повествовательное предложение, в отношение которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

В алгебре высказываний любую логическую функцию можно выразить через основные логические операции, записать ее в виде логического выражения и упростить ее, применяя законы логики и свойства логических операций. По формуле логической функции легко рассчитать ее таблицу истинности. Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок.

Приоритет логических операций:

• — Инверсия
• — Конъюнкция,
• — Дизъюнкция

Конъюнкция Конъюнкция: соответствует союзу: «и», обозначается знаком^, обозначает логическое умножение.

Конъюнкция двух логических ~ истинна тогда и только тогда, когда оба высказываний истинны. Можно обобщить для любого количества переменных А^В^С = 1.

если А=1, В=1, С=1.

Дизъюнкция Логическая операция соответствует союзу ИЛИ, обозначается знаком v, иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ.

Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и галька тогда, когда оба высказывания ложны.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией.

A v В v С = 0,.

только если, А = О, В = О, С — 0.

Таблица истинности дизъюнкции имеет следующий вид:

Инверсия Логическая операция соответствует частице не, обозначается или Ї и является логическим отрицанием.

Инверсия логической переменной истинна, если переменная ложна и наоборот: инверсия ложна, если переменная истинна.

высказывания у которых таблицы истинности совпадают называются равносильными.

ИМПЛИКАЦИЯ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Импликация «если А, то В», обозначается, А > В.

Эквивалентность «А тогда В и только тогда», обозначается, А ~ В.

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

Например: дана формула Порядок вычисления:

• — инверсия
• — конъюнкция
• — дизъюнкция
• — импликация
• — эквивалентность.