Траектории линейных систем на плоскости

Рассмотрим автономную линейную однородную систему.

(3).

с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и. В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,.

где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1) вещественны, различны и. В этом случае. Параметрические уравнения траекторий таковы:. Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими или. При и .

Картина расположения траекторий при, имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

• 2) вещественны и. Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.
• 3) комплексно-сопряженные. Пусть. В преобразовании X = SY, где и — линейно независимые собственные векторы, соответствующие и. Так как, А вещественна, и можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и. Положим, , а в качестве фазовой плоскости возьмем. Переменная связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где,. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты, или,. Имеем:. Отделяя вещественные и мнимые части, получим: .

Следовательно,. При траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.

4). Жорданова форма матрицы, А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду Решением этой системы будет функция. В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы.