Пример расчета крутого восхождения

Предположим, что в результате проведения полного факторного эксперимента типа 22 получены следующие результаты наблюдений yu:

первая серия: y1=95,6; y2=90,6; y3=84,3; y4=83;

вторая серия: y1=94,4; y2=89,4; y3=85,7; y4=81.

В табл.6.4 приведено среднее значение y*.

Таблица 6.4.

Для вычисления коэффициентов регрессии определим следующие матрицы:

;; .

Определим матрицу системы нормальных уравнений и определим оценки коэффициентов:

.

.

.

Следовательно,.

y=88−2×1−4.5×2(6.15).

Область определения факторов задана табл.6.5.

Таблица 6.5.

Для проверки гипотезы адекватности выбранной модели используем F-критерий.

.

где — дисперсия адекватности [14, с.201]; - дисперсия воспроизводимости;

f=N-(k+1)=4-(2−1)=1 — число степеней свободы.

Для расчета составим табл. 6.6 расчета остаточной суммы квадратов. Для вычисления дисперсии воспроизводимости составим расчетную табл.6.7.

Таблица 6.6.

Таблица 6.7.

Следовательно, [14. С. 162],.

.

Вычислим значение F-критерия [14. С.202].

.

Табличное значение критерия Фишера для числа степеней свободы 1,4 и 5-го уровня значимости [14. С.04] равно 7,7. Поэтому гипотеза адекватности линейной модели может быть принята как справедливая [14, с.203].

Проверку значимости величины дисперсии вычислим по формуле [14, с.207].

.

Определим доверительный интервал: bj=tS{bj}=-t S{bj}, где t — табличное значение критерия Стьюдента [14. С.208] при числе степеней свободы, с которыми определялась S2{y}, и выбранном уровне значимости (0,05). При f=N=4 имеем bj=2,7760,37=1,03.

Отсюда видно, что вычисленные коэффициенты значимости, т. е. их абсолютные значения, больше доверительного интервала [14. С. 209].

Рассмотрим этапы расчета крутого восхождения. Результаты расчетов будем фиксировать в табл. 6.8.

1. Определим составляющие градиента. Для шага варьирования 0,5 и 1,0 имеем b1х1=-20,5=-1; b2х2=-4,51,0=-4,5. Прибавим составляющие градиента к основному уровню факторов х1=1,5−1,0=0,5.

Опыт 5 — х2=7,0−4,5=2.5, х1=0,5−1,0=-0,5.

Опыт 6 — х2=2,5−4,5=-2,0.

Условия опыта 6 не реальны, так как значения хj при этом выходят за границы допуска. Следовательно, шаг движения велик.

Таблица 6.8.

2. Воспользуемся условием: умножение составляющих градиента на любое положительное число дает точки, лежащие на градиенте.

В данной задаче удобно изменить х2 на 0,5, т. е. уменьшить составляющую градиента в 9 раз. Во столько же раз уменьшается и составляющая градиента по первому фактору (-0,11). Изменению составляющих градиента соответствует в табл.6.8 строка «Шаг при изменении х2 на 0,5». Округлим шаг до 0.1.

3. Осуществим последовательное прибавление составляющих градиента к основному уровню. Получим серию опытов 5−9 крутого восхождения. Эти опыты часто называют мысленными.

Иногда имеет смысл оценить ожидаемые значения параметров оптимизации в мысленных опытах.

Проведем расчет для опытов 7 и 8 крутого восхождения. Для оценки параметра оптимизации использовано уравнение регрессии (6.15). Однако в табл.6.8 приведены натуральные значения факторов, а в уравнении применяются кодированные значения. Поэтому необходимо натуральные значения перевести в кодированные по формуле.

(6.16).

где хj — кодированное значение фактора; хj — натуральное значение фактора; хj0 — натуральное значение основного уровня; Jjинтервал варьирования; j — номер фактора.

Согласно (6.16) для опытов 7 и 8 соответственно вычислим х1=-0.6; х2=-1.5;

х1=-0.8; х2=-2.0.

Подставляя эти значения в уравнение регрессии (6.15), получаем y7=95.95; y8=98.6, где yj — значение зависимой переменной, предсказанное с помощью уравнения регрессии.

Все выполненные расчеты по данному примеру сведены в табл. 6.8. Здесь х* - факторы в натуральных единицах; y* - среднее значение из двух параллельных опытов.