Транспортная задача. 
Решение задач линейного программирования

В регионе имеются четыре угольные шахты, объем добычи угля в которых составляет соответственно () тонн в день. Первичную переработку угля осуществляют три фабрики, производственные возможности которых составляют () тонн в день соответственно.

Перевозка угля от шахт до фабрик осуществляется с помощью железнодорожного транспорта. Транспортные затраты составляют руб. за т.-км. Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик приведено в следующей таблице 3:

Таблица 3. Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, в км.

Исходные данные транспортной задачи представлены в таблице 4:

Таблица 4. Исходные данные транспортной задачи.

Необходимо:

• 1. Построить экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.
• 2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.
• 3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.
• 4. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно () км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

5. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно () км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение.

1. Построим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

Обозначим через — объём перевозки угля от i-ой шахты до j-ой перерабатывающей фабрики.

Тогда суммарные транспортные затраты на перевозку составят:

Заданные объемы добычи угольных шахт и производственные возможности перерабатывающих фабрик накладывают ограничения на значения объемов перевозок угля :

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Экономико-математическая модель представленной транспортной задачи составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

Для начала проверим тип представленной транспортной задачи. Так как.

(суммарная мощность шахт равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является закрытой, а ее решение можно найти.

Таблица 5. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок угля)

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 9 035 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

• — с первой шахты 230 т. добытого за день угля необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику, 20 т. — на вторую;
• — со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 190 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;
• — с третьей шахты 30 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 140 т. — на третью;
• — с четвертой шахты весь объем добытого за день угля (это 90 т.) необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику.

4. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно () км.

Дополнительные исходные данные транспортной задачи представлены в таблице 6:

Таблица 6

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объем перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями.

Так как.

(суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.

Для этого введем фиктивного потребителя (перерабатывающую фабрику), производственная потребность в угле которой составляет.

.

Все значения расстояний от шахт до этой углеперерабатывающей фабрики .

После введения фиктивной фабрики задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объем перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 10 725 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

• — с первой шахты весь объем добытого за день угля (это 250 т.) необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику;
• — со второй шахты 160 т. необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику и 30 т. — на четвертую;
• — с третьей шахты 120 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 50 т. — на вторую;
• — с четвертой шахты весь объем добытого за день угля (это 90 т.) необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику;
• — с пятой шахты 140 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 140 т. — на третью.

5. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно () км.

Дополнительные исходные данные транспортной задачи представлены в таблице 8:

Таблица 8

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объем перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями.

Так как.

(суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.

Для этого введем фиктивного поставщика (угольную шахту), добыча угля которой составляет.

т. в день. Все значения расстояний от этой фиктивной шахты до углеперерабатывающих фабрик .

После введения фиктивной шахты задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объем перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 8 073 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

• — с первой шахты весь объем добытого за день угля (это 250 т.) необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику;
• — со второй шахты 136 т. добытого угля необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику и 54 т. — на четвертую;
• — с третьей шахты 140 т. добытого угля необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику и 30 т. — на четвертую;
• — с четвертой шахты весь объем добытого за день угля (это 90 т.) необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику.

Кроме того, важно отметить, что согласно полученному оптимальному распределению перевозки угля производственная потребность первой перерабатывающей фабрики не будет удовлетворена на 260 т., второй фабрики — на 74 т., а четвертой — на 56 т.