Модельные примеры. 
Философия математики

Необходимо различать математические модели, скажем, в естествознании и в самой математике. Математическая модель реального явления — это идеализированный образ данного явления (как прообраза), выраженный на языке математики, например законы (формулы) Кеплера движения планет вокруг Солнца. Такие модели получаются на пути абстрагирования. Метод моделирования широко применяется в естественных, технических, а также в социальных науках. Заметим, что обычно между реальным явлением и его математической моделью стоит предметная модель (физическая, химическая, биологическая, социальная и т. д.). На схеме, приведенной на следующей странице, слово «измерения» означает экспериментальное нахождение количественных соотношений между параметрами (величинами) изучаемого явления, тем самым задается координатизация ситуации. Под «вычислениями» подразумеваются любые математические преобразования, производимые в модели.

Моделью аксиоматической теории в математике называется конкретная математическая структура (объект), удовлетворяющая всем аксиомам этой теории; они появляются в процессе конкретизации, при интерпретации аксиоматических теорий. Так, аддитивная группа Z целых чисел является моделью теории групп. Изучением свойств классов моделей формальных аксиоматических теорий занимается теория моделей как составная часть современной математической логики.

Математическое познание движется, как правило, от имеющих нечто общее конкретных математических объектов к созданию соответствующих теорий. Поэтому конкретная модель может выступать и как образ, и как прообраз математической теории.

Мы рассматриваем модели математических теорий. Дадим три определения-пояснения понятия модельного примера — философское, методическое и математическое.

При философском подходе под модельным примером абстракции понимается любая вещь, так или иначе представляющая, реализующая абстракцию более высокого логического уровня (чем сама вещь). Например, аддитивная группа Z₃ есть модельный пример множества аддитивных групп Z_n классов вычетов по модулю п, группы Ъ_п суть модельные примеры циклических групп, которые в свою очередь являются модельными примерами теории абелевых групп. Можно говорить об иерархии модельных примеров.

Методическое определение: модельным примером абстракции (понятия, теории) называется ее конкретная модель, отражающая более или менее полно всю совокупность существенных свойств данной абстракции. Тем самым, модельные примеры — это не любые примеры, а образцы, «супермодели на подиуме» математической действительности, благодаря которым можно воспроизвести саму абстракцию. Одноэлементные математические объекты (скажем, нулевое векторное пространство) не являются модельными примерами подходящих математических теорий.

При математическом понимании модельный пример математической теории — это такая ее модель, исходя из которой с помощью известных математических конструкций (взятие подобъектов, факторобъектов, прямых произведений и т. п.) можно получить все модели данной теории с точностью до изоморфизма. Приведенные определения последовательно уточняют понятие модельного примера в математике.

Постараемся теперь объяснить суть дела на некоторых важнейших модельных примерах.

• 1. Координатные прямая R, плоскость R² и пространство R³. При рассмотрении произвольных векторных и евклидовых пространств И. М. Глазман, один из авторов известной книги «Конечномерный линейный анализ в задачах», вопрошал: «А как это выглядит в двумерном случае?», т. е. в пространстве R². Конечно, пространство R³ адекватнее и тоньше отражает понятие векторного пространства, чем R или R². Значимость обращения к обычному пространству R³ отмечал Ю. И. Манин. В курсе линейной алгебры доказывается простая, но фундаментальная теорема о строении: любое конечномерное векторное пространство V над полем Р изоморфно арифметическому пространству Р^п, где п — размерность V. Подобный результат справедлив и для конечномерных евклидовых пространств. Это означает, что пространства Rⁿ, особенно при п = 2 или 3, служат основными модельными примерами в линейной алгебре, многомерной евклидовой геометрии и функциональном анализе.
• 2. Группа S_n подстановок п-й степени. По теореме Кэли всякая n-элементная группа изоморфна некоторой подгруппе группы S_n. Теорема Кэли легко обобщается на бесконечные группы и на полугруппы. При этом элементы абстрактной группы G представляются преобразованиями (взаимно однозначными отображениями на себя) множества G, рассматриваемыми относительно операции композиции (последовательного выполнения преобразований). Наглядными примерами групп являются группы само со вмещений (симметрии) простейших геометрических фигур.
• 3. Булеаны. Булеан В (М) — это булева алгебра всех подмножеств непустого множества М, взятая с операциями объединения, пересечения и дополнения. Пусть В — произвольная булева алгебра с бинарными операциями + и х и с унарной операцией '. Теорема Стоуна утверждает, что В изоморфна подалгебре булеана В (М), где в качестве М можно брать множество всех максимальных идеалов в В. Элементы и операции в В интерпретируются соответственно как подмножества в М и теоретико-множественные операции над ними. Скажем, равенство аЪ = 0 в алгебре В означает, что соответствующие множества не пересекаются. Естественным образом в В определяется отношение порядка: а <�Ъ означает а + Ъ = Ъ (равносильно, аЪ = а), интерпретируемое как отношение включения с подмножеств множества В. После этого становится ясно, что для булевых алгебр имеют место (например) следующие соотношения:

• 4. Кольца и полукольца функций. Для данных непустого множества X и полукольца S рассмотрим полукольцо S^x всевозможных отображений X —> S с поточечно определенными операциями сложения и умножения отображений. Если S — полукольцо без делителей нуля, то равенство fg = 0 в полукольце функций S^x означает, чтоДх) = 0 или g (x) = 0 для каждого х е X. Знакомая картина получается в случае R^x для числовых промежутков X, когда функции изображаются графиками. В теории пучковых (функциональных) представлений абстрактное полукольцо S представляется как полукольцо сечений соответствующего пучка полуколец-слоев S_x, индексированных точками базисного пространства X. Слои должны быть устроены проще исходного полукольца S. На этом пути получается и указанная теорема Стоуна (все S_x изоморфны двухэлементной цепи), и, скажем, разложение кольца классов вычетов Z₇₀ в прямое произведение полей Z₂, Z₅ и Z₇
• 5. Упорядоченное множество N₀ неотрицательных целых чисел с отношением порядка «делит» . Это пример полной атомной дистрибутивной решетки с условием минимальности с наименьшим элементом 1 и наибольшим элементом 0. Наряду с числовой прямой

R и булеанами, N₀ — один из важнейших модельных примеров в теории упорядоченных множеств и решеток. Его непустыми конечными подмножествами исчерпываются с точностью до изоморфизма все конечные упорядоченные множества. Заметим, что конечные упорядоченные множества удобно изображать диаграммами Хассе.

Свободные алгебры. Играют существенную роль в универсальной алгебре. Класс К всевозможных алгебр одинаковой сигнатуры (однотипных), удовлетворяющих некоторому множеству тождеств, называется многообразием. Свободные алгебры многообразия К — это алгебры из К, обладающие свободной системой образующих. Свободные образующие не связаны никакими соотношениями, которые не вытекают из тождеств данного многообразия. Точнее, алгебра Л из К называется свободной алгеброй многообразия К, если в, А существует множество X (свободных) образующих, такое, что любое отображение X в произвольную алгебру В е К продолжается до гомоморфизма, А —> В. Всякое многообразие имеет свободные алгебры с множеством свободных образующих любой мощности. Более того, любая алгебра многообразия алгебр является гомоморфным образом (факторалгеброй) некоторой свободной алгебры этого многообразия. Многие важнейшие алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца, решетки, модули, полукольца) образуют так называемые многообразия, и, значит, имеют свободные объекты. Например, свободной полугруппой с множеством X свободных образующих служит полугруппа слов в алфавите X с операцией приписывания слов. А свободные абелевы группы представляют собой (с точностью до изоморфизма) прямые суммы аддитивной группы Z целых чисел.

Компакты в теории тихоновских пространств. Тихоновские пространства характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства прямых произведений числовой прямой R (или числового отрезка [0; 1]), рассматриваемой с обычной топологией. Для любого тихоновского пространства X существует универсальная компактификация РХ — компактификация Стоуна—Чеха пространства X. Напомним, что компактификацией X называется любой компакт, плотно содержащий X в качестве подпространства. Пространство РХ можно определить как компактификацию X, для которой любая ограниченная непрерывная функция X —> R продолжается до непрерывной функции рх —^ R. Среди всех компактификаций тихоновского пространства X стоун-чеховская компактификация рх обладает свойством универсальности: любая компактификация пространствах есть непрерывный образ РХ надХ. Мы видим, что компакты (в частности, отрезок [0; 1]) и числовая прямая R служат модельными примерами в общей топологии, по крайней мере, в классе тихоновских пространств.

Приведенные модельные (образцовые) примеры показывают, что они могут выступать заменителями соответствующих абстракций при работе с общими понятиями, по крайней мере, на уровне правдоподобных рассуждений. Модельные примеры «осязаемы», более конструктивны и наглядны, значит, и более доступны, нежели изучаемые абстракции. Они дают пищу интуиции, нередко предвосхищают общий результат и даже способ его доказательства. Булеаны, являясь модельными примерами булевых алгебр, хорошо иллюстрируют «кухню» теории булевых алгебр: элементы абстрактных булевых алгебр можно представить себе как подмножества некоторого множества с соответствующими операциями над ними (по теореме Стоуна).

Многие доказательства алгоритмического характера можно проводить (фактически без потери общности) на конкретных примерах, в частности при применении метода Гаусса и алгоритма Евклида.

Модельные примеры естественным путем возникают в различных теориях представлений при реализации абстрактных математических объектов в виде конкретных объектов, особенно в современной алгебре, функциональном анализе, алгебраической геометрии. Наиболее часто они встречаются при функциональных представлениях (примеры 1−4).

Остановимся на взаимосвязи математической теории с ее модельными примерами. Выделение и анализ различных математических объектов, имеющих общую схему (по терминологии М. М. Постникова), приводит к осознанию этого единства, а затем к возникновению, синтезу нового математического понятия и развитию соответствующей теории. Переход от конкретных примеров к теории — это процесс абстрагирования. И ему соответствует дидактический принцип абстрактности, заключающийся в выяснении значения, пользы и применения общих понятий, развитой теории, дедукции, разумных обобщений и аналогий. Обратный переход от теории к моделям выдвигает принцип наглядности в обучении, когда абстракция изучается посредством своих конкретных представителей — модельных примеров. При этом уже известные математические объекты и приобретенная через них интуиция, знакомые образы и ассоциации, врожденные ориентиры способствуют более быстрому, глубокому и надежному изучению теории.

Укажем естественные положения, вытекающие из сказанного. Во-первых, напрашивается простой дидактический вывод: для понимания современной математики надо хорошо изучить основные конкретные математические объекты (натуральный ряд, числовую прямую, трехмерное евклидово пространство, проективную плоскость, основы делимости целых чисел и т. д.). Другой вывод: хотя основные математические объекты в каждой математической дисциплине известны, более продуманный, обоснованный и тщательный их отбор осуществим на базе понятия модельного примера при анализе фундаментальных теорем строения, представления и двойственности.