Двусторонний критерий. 
Надежность технических систем и техногенный риск

Если нуль-гипотеза выдвигается для определения изменений, происходящих в популяции, то требуется двусторонний критерий. Допустимая а-ошибка (a-риск) в этом случае делится на две части.

Примером использования двустороннего критерия является применение a-риска с целью определения — значительно ли отличаются уровни окладов сотрудников фирмы, А от уровней окладов сотрудников фирмы Б.

Требуемый объем выборки.

При обсуждении статистического вывода ранее допускалось (см. также наш вопрос к условиям задачи для успешного студента), что объем выборки (п) для проверяемой гипотезы был задан и критическое значение статистического критерия следовало определять, основываясь на a-ошибке, которая могла быть допустимой. Однако идеальной процедурой является определение желаемых величин аи р-ошибок и затем нахождение необходимого для требуемой достоверности решения.

Объем выборки (п)_у требуемый для проверки гипотезы, зависит от следующих факторов.

• 1. Требуемых рисков 1-го рода (а) и 2-го рода (Р), о чем будет сказано ниже.
• 2. Минимальной величины, которая может быть обнаружена между средними значениями в генеральной совокупности (р — р₀).
• 3. Разброса измеренных характеристик (стандартное отклонение, или сигма (а)).

Проиллюстрируем один из приближенных методов определения объема выборки по исходным данным на следующем примере.

Требуется определить, можно ли в опытном производстве произвести в час заданный объем продукции с погрешностью ±4 т и сколько времени нужно потратить на дополнительное производство. Историческая (т.е. развернутая во времени) информация полагает, что стандартное отклонение выхода продукта в час составляет ±20 т.

Решение. Ранее мы показали, что 95%-ный доверительный интервал (относительно среднего) определяется как ±1,96а/л/й.

Поэтому ±1,96−2= = 4 (т/ч), или 4п =1,96—, откуда п = 0,24а². yjn 4.

Если среднеквадратическое (стандартное) отклонение, а = 20 т, то объем выборки п = 0,24 • 20² = 96 т/ч.

Ответы будут таковы: можно, на допонительное производство время тратить не нужно. Примерно 96 т/ч будет составлять объем производимой продукции для достижения поставленной производственной задачи.^[1][2]

3) о_1? о₂,…, Oj,…, о", определяющие информацию о внешней среде, полученную опытным путем (данные, например, — низкое давление, о₂ — высокое давление), т. е. измеренные состояния.

Рис. 12.2. Иллюстрация к проблеме учета психофизических особенностей живых существ

Основной задачей теории статистических решений (TCP), или теории проверки гипотез, является проверка правдоподобности или истинности той или иной гипотезы Я, на основании информации о состоянии о_} внешнего мира (среды) для /?,.

Нарисуем своего рода перцептрон (это технический элемент, имитирующий работу нейронов), пространство состояний Г, состоящее из двух непересекающихся подпространств Tj и Г₂ (Г = Г₁ + Г₂), с границей в виде волнистой линии 1 (рис. 12.3). Образно — поверхность волны в морс, или граница раздела подсознание/сознание в геометрических и топологических моделях Фрейда — Павлова, или китайская монада. И рассмотрим существование в этом перцептроне пузырька о_}. Для пузырька о_; (кроме его положения на границе) могут быть высказаны две гипотезы Н_х или Я₂ (здесь мы немного отойдем от стандартного обозначения гипотез Я₍₎ и Н_{)_у что он находится либо в Г_[у либо в Г₂.

Формально — где же будет живой пузырек:

• • либо Oj е Г|, то принимается гипотеза Н{_у
• • либо Oj g Г₂, то принимается гипотеза Я₂.

Тут все понятно.

А вот живой или мертвый пузырек будет на границе — об этом отдельный разговор. Это уравнение линии, функцию скалярной величины, называют отношением правдоподобия, 1(х_1у х₂). Значение х = х₀ является пороговым значением. И тогда:

• • если х < х_0у то принимается гипотеза Н_х
• • если х > х₀, то принимается гипотеза Я₂.

Рис. 12.3. Пузырек в пространстве состояний Г

Рассмотрим вопрос о пузырьках на границе раздела подпространств Г, и Г₂ более подробно. Пусть известны априорные вероятности о «мертвых» пузырьках q_i = p{hj).

После получения информации о живом пузырьке Oj в результате наблюдений вероятности —> p (h-JOj) и превратятся в условные вероятности, иногда их называют апостериорными вероятностями, что не совсем корректно.

В этом случае, например для h_v h₂:

• • если p (h_{/Oj) > p (h₂/Oj), то принимается гипотеза Яр
• • если p (h₂/Oj) > p (h_x/Oj), то принимается гипотеза Н₂.

Эти решающие правила выбора между двумя гипотезами очень естественны, так как отдается предпочтение более вероятной гипотезе с учетом результатов наблюдений. В обобщенном виде с использованием теоремы Байеса — Маркова (см. историко-математический экскурс в конце данной главы), эти правила, согласно Ю. П. Леонову из Института психологии АН СССР¹, выглядят очень просто и упорядоченно:

• • если X (Oj) < А.₀, то принимается гипотеза Яр
• • если X (oj) > А.₀, то принимается гипотеза Я₂.
• 1 <5h P (h^ _ч P (oj/h₂)

Л₀ = — = —называется порогом, а А (г Э = — —отношением.

q₂ p (h₂) ¹ p (oj / А,)

правдоподобия (ОП).

Но, как известно, порядок в одном месте достигается беспорядком в другом месте. Это, в общем случае, следует из соотношения энтропии и негэнтропии, что следует из негэнтропийного принципа информации^[3][4]. И действительно, это так.

Примером применения ОП служат задачи, решаемые сегодняшними нейрокомпьютерщиками.

Пример 12.3.

Задача состоит в обнаружении сигнала па фоне собственных шумов. Пусть h₂ — состояние, в котором на рецепторы действует раздражитель — чистый звуковой тон.

с амплитудой s, который смешивается с внутренним шумом, возникающим в нейронной цепи. Им может быть нейрональный шум в синапсах или собственный шум в нейронах.

Решение о наличии сигнала (s Ф 0, гипотеза Я₂) принимается, если в смеси сигналов о_{ = s + n_jf где ttj — внутренний шум, аддитивная помеха.

В состоянии А, на рецепторы нс действует раздражитель (s = 0, гипотеза Н_х).

Тогда ОП будет выглядеть гак:

а порог А₀ = — = _{или в} дру_ГОй форме р (0)/р (1), принятой цифровыми логи- Я2 P (^s)

ками, где «О» — для лжи, а «1» — для истины, как отношение вероятностей появления одного шума или полезного сигнала, или p (n)/p (s) или Р ( Ш у м)/Р (С и г н, а л).

Примечание. На решении вопроса об обратном соотношении С/Ш выросли как известный ученый Г. Тагути, связавший финансы с качеством изделий¹, так и в целом экономика Японии — нельзя им пренебрегать.

О рисках при принятии решений. Изложением предыдущего материала мы, надеемся, подготовили читателя к их восприятию и способствовали появлению самостоятельного исследовательского интереса к ним:

Выбор границы, разделяющей и Г₂, как мы показали выше, однозначно определяет вероятности ошибок первого и второго рода:

Здесь f (x/1ц) — условная плотность вероятности вектора X при условии, что имеет место Aj, т. е. гипотеза Я₁ истинна; f (x/h₂) — условная плотность вероятности вектора X при условии, что имеет место А₂, т. е. гипо;

х|.

теза Н₂ истинна; X = … — вектор случайных параметров объекта.

Пример взаимосвязи вероятностей решений о приемке и браковке изделий, рисков а, Р проиллюстрируем упрощенной схемой (рис. 12.4), пользуясь идеями И. М. Маликова^[5][6].

Па схеме рис. 12.4 обозначено: Р — вероятность Ре [0; 1|; Т — символ времени, Гф — наработки, ГфЕ [0; °°). Браковка (приемка) — линия вероятности забракования (приемки) изделия; Pc_)p(P_lip = 1 ^- Рв_р) ^— вероятность забракования (приемки) изделия; Т_о{ — минимально допустимая величина средней наработки изделия, при которой еще возможно выполнение его основных функций; Т₀ — величина средней наработки изделия, установленной для данного типа изделия в качестве номинальной, обеспечиваемая достигнутым уровнем производства этих изделий; Гф — фактическое значение наработки, случайная величина; Гф, Гф₂ — примеры фактических значений, полученные из опыта. Установление значений Г₀ и Г_о1 соответствует разделению изделий на три категории в зависимости от Гф, а именно: Гф > Г₀ — хорошее изделие; Г₀ < Гф < Г₀ — допустимое изделие; Гф < Г₀, — плохое изделие.

Рис. 12.4. Упрощенная схема взаимосвязей вероятностей Р решений о приемке и браковке изделий с рисками а, (3.

Из схемы рис. 12.4 очевидно, что:

1) для изделия с Гф= Г_о1 вероятность приемки Р_Щ1 = (3, а браковки % =.

= 1 — Р;

2) для изделия с Гф = Г₀ вероятность браковки Р_б = а, а приемки Р_пр = = 1 — а.

• [1] О понятии рисков 1-го и 2-го родов. Ввиду важности вопроса поговорим еще о рисках аир. Но без сведений из статистической теории решений здесь нам не обойтись. Рождению, развитию и исследованию интересных и важнейших понятий рисков способствовали насущные проблемытехники (например, обнаружение целей в радиолокации) и актуальностьучета психофизических возможностей человека, в целом живых существ. Психофизика во многом определяет механизм принятия решений человеком и животным (рис. 12.2), на этой иллюстрации можно наблюдатьспецифическое поведение живых существ, которое в обязательном порядкеисследуется и учитывается при разработке современных интеллектуальных ТС и необходимо для создания искусственного интеллекта. Неспроста великий теоретик и практик авиации Николай Егорович Жуковский (1847—1921), закапчивая одну из своих лекций о летательных аппаратах, выпустил голубя со словами о том, что это создание, к летным качествамкоторого мы должны стремиться. Теория принятия решений — статистическая теория. И значит, в нейиспользуется понятие вероятности. В частности, в ней используются тригруппы символов:
• [2] hv h2,…, hr …, hm, описывающие возможное состояние внешней среды, они могут быть числами или событиями (например, h{ — дождь, h2 — хорошая погода) — возможные состояния; 2) 7/j, #2,…, Hit…, Нт, описывающие высказывания относительно состояний hj. Эти высказывания называют гипотезами (например, Н{ — дождь, Н2 — хорошая погода). По сути они результаты (думы) вероятностногомышления на основе неких решающих правил;
• [3] Леонов Ю. П. Теория статистических решений и психофизика. М.: Наука, 1977. С. 38.
• [4] См.: Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1960. С. 200.
• [5] См. [35, с. 443; 37, с. 150−161 ].
• [6] См. его книгу: Мсишков И. М. Надежность судовой электронной аппаратуры и системавтоматического управления". Л.: Судостроение, 1967. С. 125—127.