Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости

Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема п (здесь сохранены все обозначения § 25):

по признаку А х_{ х₂, х_п по признаку В г/, у₂, …, у_п

Допустим, что правее г/, имеется R_{ рангов, больших г/,; правее у.₂ имеется R₂ рангов, большиху₂,правее у_{п ]} имеется R_n__t рангов, больших у . Введем обозначение суммы рангов R. (/= 1,2,1):

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется формулой.

о—1.

где п — объем выборки; R = ^ R_i.

i=t.

Убедимся, что коэффициент Кендалла имеет те же свойства, что и коэффициент Спирмена.

1. В случае «полной прямой зависимости» признаков.

Правее г/, имеется п — 1 рангов, больших y_v поэтому R_t = п — 1. Очевидно, что R₂ = n- 2,…, R = 1. Следовательно,.

Подставив (**) в (*), получим.

2. В случае «противоположной зависимости».

Правее г/, нет рангов, больших г/,; поэтому = 0. Очевидно, что R₂ = R._f =… = R_{n l} — 0. Следовательно,

Подставив (***)в (*), получим.

Замечани е. При достаточно большом объеме выборки и при значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к единице, имеет место приближенное равенство.

Пример 1. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по данным рангам объектов выборки объема п = 10:

по признаку Л … х. 123 456 7 89 10 по признаку В… у. 6 4 81 251 037 9.

Решение. Правее= 6 имеется 4 ранга (8,10, 7, 9), больших г/, поэтому = 4. Аналогично найдем: = 5, R₃ = 2, R₄ = 6, R, = 5, R₍. = 3, R₁ = 0, R_s = 2, R_(J = 1. Следовательно, сумма рангов R = 28.

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что п = 10:

Приведем правило, позволяющее установить значимость или незначимость ранговой корреляционной связи Кендалла.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции т Кендалла при конкурирующей гипотезе Я: т. Ф 0, надо вычислить критическую точку:

где п — объем выборки; z — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа, но равенству Ф (2_кр) = (1 — а)/2.

Если |т₍ | < Т — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначимая.

Если | т J > Г_р — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Пример 2. При уровне значимости 0,05 проверить, является ли ранговая корреляционная связь Т_{ = 0,24, вычисленная в примере 1, значимой?

Решение. Найдем критическую точку 2_кп:

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим 2_кр = 1,96.

Найдем критическую точку:

Подставив2_кр = 1,96 и п = 10, получим Г_р = 0,487. В примере 1 т_в = 0,24.

Так как т_в < Г _р — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между признаками незначимая.