Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К. Годунова

Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий до квадратной невырожденной:

.

Начальные значения находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:

.

где — вектор из нулей размерности 4×1.

Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова

В методе С. К. Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:

.

На каждом конкретном участке метода прогонки С. К. Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутты пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:

.

Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту однажды вычисленную матрицу Коши.

И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутты, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутты.