Переходные процессы в АСУ

В любой АСУ в результате воздействия возмущающих сил, с одной стороны, и восстанавливающего действия управляющего устройства, с другой, возникает переходный процесс: переход АСУ из одного состояния в другое. Рассмотрим различные типы переходного процесса.

Пусть АСУ описывается дифференциальным уравнением вида.

.

характеристическое уравнение, которого имеет корни.

Решение ДУ описывает переходной процесс y (t) характер которого определяется коэффициентом x. Возможное расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р при различных значениях x показано на рис. 2. Рассмотрим переходные процессы, соответствующие различным значениям x.

x<-1.

Рисунок 2 Расположение корней характеристического уравнения.

Переходная функция h (t) при подаче на вход единичного ступенчатого сигнала имеет вид:

.

При этом корни характеристического уравнения вещественные положительные (p1, 2>0) и, следовательно:

В данном случае система не может восстановить равновесное состояние, значение управляемой координаты все больше отклоняется от заданного. Такой переходный процесс называется расходящимся монотонным (апериодическим) (рис. 3, а), а система неустойчивой (идет процесс накопления энергии из внешней среды).

• а) -1
• б) 0
• в) x>1
• г) о?1
• д) x=0

Рисунок 3 Виды переходного процесса

.

Переходная функция имеет вид:

.

.

.

Характеристики системы те же, что и в предыдущем случае, но переходный процесс колебательный (рис. 3, б).

Переходная функция h (t) та же, что и в случае II, но при этом система возвращается в равновесное состояние, а значение управляемой координаты приближается к заданному.

Такой переходный процесс называется сходящимся колебательным, а система устойчивой (происходит отдача энергии во внешнюю среду) (рис. 3, в). устойчивость автоматизация передаточный Переходная функция h (t) имеет тот же вид, что и в случае I, но характеристика системы та же, что и в III случае, переходный процесс монотонный (апериодический) (рис. 3, в). На этом же рисунке показана переходная функция:

.

.

.

В системе устанавливается периодическое движение, процесс называется колебательным незатухающим, система находится на границе устойчивости (рис. 3,д). Она является замкнутой (консервативной), автономной от внешней среды.

Все рассмотренные колебания (И, III и V случаи) относятся к классу свободных, их параметры A и j зависят от начальных условий, т. е. от привнесенной энергии. Для случаев II и III функция, Т — период колебаний, и, следовательно, эти колебания непериодические. Периодические колебания наблюдаются только в случае V.

Сопоставление корней характеристического уравнения на комплексной плоскости р с соответствующими переходными процессами (рис. 3) показывает, что линейная система восстанавливает равновесное состояние только тогда, когда корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси.

В общем случае условие устойчивости АСУ имеет вид.

где у (0) — начальное значение управляемой величины;

e — установившееся отклонение управляемой величины или статическая ошибка (в случае астатической системы e = 0).

Реальные системы всегда не линейны, однако, если для анализа поведения системы можно произвести линеаризацию уравнений, то о ее устойчивости можно судить исходя из первого метода А. М. Ляпунова:

• 1) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет устойчива в малом.
• 2) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система всегда неустойчива.
• 3) Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мнимых корней, то поведение реальной системы не может определяться ее линеаризованным уравнением. В этом случае отброшенные при линеаризации уравнения члены высшего порядка малости определяют поведение системы и могут превратить ее как в устойчивую, так и в неустойчивую.

Таким образом, анализ устойчивости линеаризованной системы сводится к нахождению расположения корней на комплексной плоскости, которое однозначно определяется коэффициентами характеристического уравнения. Однако не всегда можно вычислить корни характеристического уравнения в аналитическом виде. В соответствии с теоремой Абеля, корни уравнения выше четвертого порядка в общем случае не могут быть найдены аналитически в принципе. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, зависящих от параметров систем, и определять влияние изменяемых параметров на расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Эти критерии называют критериями устойчивости и подразделяются на алгебраические и частотные.