Интерполирование. 
Информатика.

В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f{x) для всех значений х отрезка [а, Ь], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Одним из способов приближения функции является интерполяция.

Задача интерполяции может возникнуть в практике инженера:

• • при интерполировании табличных данных;
• • при получении функциональной зависимости по экспериментальным данным, представленным в табличной форме;
• • при замене сложной с вычислительной точки зрения функции более простой зависимостью;
• • при дифференцировании и интегрировании.

Постановка задачи

Пусть на отрезке [х₀, х"] заданы п + 1 точки х₀, Х, х₂, х", называемые узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции у =jx) в этих точках, т. е. имеется таблица экспериментальных значений функцииу=Дх):у₀,У, уг, -, У"

Требуется найти значения этой функции для промежуточных значений аргумента, не совпадающих с приведенными в таблице. Получить аналитическое выражение функции уfix) по таблице ее значений (5.2) в большинстве случаев невозможно. Поэтому вместо нее строят другую функцию, которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений, что и f[x), т. е.

где / = 0, 1,2,

Такую задачу называют задачей интерполирования. Точки дс, — называются узлами интерполяции, функция /(х) — интерполируемой функцией, многочлен Р,"{х) — интерполяционным многочленом. Задачей интерполяции, в узком смысле слова, считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах х, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента х расположено между узлами х₀<�х<�х", то нахождение приближенного значения функции J{x) называется интерполяцией', если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [х₀, х"], то процесс называют экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами inter- между, внутри,pole — узел, extra — вне.

Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполирования (рис. 5.1).

Рис. 5.1.

Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

При решении задачи интерполирования обычно принимается, что:

• интерполируемая функция непрерывна на отрезке [а, А] и в каждой точке имеет конечные производные любого порядка;

• узлы интерполирования отличны друг от друга.