Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в бесконечномерном пространстве. Для приближенного нахождения квазирешения естественно переходить к конечномерному пространству. Можно указать достаточно общий подход к приближенному нахождению квазирешений уравнения (2; 0,1), в котором А—вполне непрерывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. достаточные условия существования единственного квазирешения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространстве U строго выпукла. Пусть.

M₁ М—M_2—М…М—M_n М…

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М_n такая, что замыкание их объединения совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) существует на каждом множестве М_n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т_n совокупность всех квазирешений на множестве М_n .

Покажем, что в качестве приближения к квазирешению z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹_n из Т_n . При этом.

Пусть N_n = АМ_n и В_n — множество проекций элемента и на множество N_n . Очевидно, что В_n = АТ_n и N₁ Н N₂ Н… Н N_n; тогда.

r U (u, N1)>= …>=r U (u, Nn)>=… r U (u, N)= r U (u, Az1). (2;3,1).

Так как множество всюду плотно на N, то для всякого e >0 найдется такое число n₀(e), что для всех п >n₀(e).

rU(u, Nn)<—rU(u, N)+—e (2; 3,2).

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что.

(2;3,3).

Поскольку то.

(2;3,4).

Каждое множество В_{n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта Nn. Поэтому в Вn найдется такой элемент уn, что}

r_U(y_n, u) = inf r_U(y, u).

yОB_n

Последовательность {y_n} имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую N, так как N — компакт. Пусть у₀ — какая-нибудь предельная точка множества {y_n} и {уn_k} — подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что.

Таким образом,.

rU(u, y0)=—r_U(u, N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что.

y₀=Az¹.

Так как у₀ — произвольная предельная точка множества {y_n}, то последовательность {у_n} сходится к Аz¹. Это и означает, что в качестве приближения к квазирешению можно брать любой элемент z¹_n из множества Т_п , так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹_nz* при nҐ.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квазирешения на компакте М сводится к минимизации функционала r_U(Az, u) на множестве М_п , т. е. к нахождению минимума функции п переменных.