Аксиально-симметрические поля. 
Динамика релятивистских частиц в метрике галактик

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид [6−8]:

(1).

Здесь — тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно. Как известно, Эйнштейн предложил в 1912;1955 гг. несколько альтернативных теорий гравитации, среди которых модель (1) получила всеобщее признание, особенно в последнее время в связи с открытием ускоренного расширения Вселенной [18−19].

Гравитационные поля, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах [1−11] и других. Метрика таких пространств, при некоторых предположениях может быть приведена к виду.

(2).

Здесь;; , — функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Вычисляя компоненты тензора Эйнштейна.

в метрике (2) и полагая для вакуума.

.

находим уравнения поля:

(3).

Можно проверить, что не все уравнения (3) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения.

(4).

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и четвертое уравнения (3), имеем.

(5).

Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал.

.

где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (5) находим оценку.

.

В галактиках параметр орбитальной скорости и гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину. В таком случае в первом приближении можно пренебречь малой величиной. В результате, как и в теории гравитации Ньютона, приходим к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала.

Разрешая систему уравнений (5) приходим к определению статических полей гравитации в случае осевой симметрии. Отметим, что решение системы уравнений (5) зависит от граничных условий, которые можно сформулировать, например, на осях симметрии галактики и на удаленной границе. В результате находим гравитационный потенциал, не используя объемных источников. В этом случае роль темной материи играют граничные условия, которые можно определить путем измерений орбитальной скорости звезд в галактиках [10−11] .

Сила, действующая на частицу в статическом гравитационном поле, определяется в общем случае из выражения [20].

(6).

Здесь — масса и вектор скорости частицы.

Рассмотрим уравнение движения тела в гравитационном поле в нерелятивистском приближении, имеем.

(7).

В метрике (2) условие равновесия тел на круговых орбитах имеет вид.

(8).

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты.

(9).

Путем обработки данных для 50 галактик [16−17] было установлено, что наилучшее соответствие со всей совокупностью данных получается в том случае, когда зависимость потенциала от радиальной координаты можно представить в форме.

(10).

Здесь — некоторые константы, характеризующие распределение гравитационного потенциала во внутренней области галактики. Следовательно, можно предположить, что гравитационный потенциал во внутренней области галактики имеет, например, такой вид [10].

(11).

На рис. 1 представлены результаты моделирования распределения гравитационных потенциалов в галактиках NGC 0000, NGC 0253, NGC 0660, NGC 0891 по данным скорости вращения [16−17] согласно (9)-(10). Отметим, что параметры вычисляются по методу, описанному в [10]. Первые два слагаемых в правой части (10) и (11) отвечают условиям в центре галактики, в остальные три описывают условия в кластере галактик [11].

Рис. 1. Зависимость гравитационного потенциала (км 2/с 2) от радиальной координаты (кпс) в галактиках NGC 0000, NGC 0253, NGC 0660, NGC 0891 по данным [16−17] и по модели (10): поле содержит точечный источник, логарифмическую особенность и квадратичный потенциал, описывающий течение в кластере [11].

Как известно, в центре нашей Галактики находится точечный источник гравитационного поля, который обычно отождествляют с черной дырой [21]. Данные на рис. 1 свидетельствуют, что в некоторых галактиках среди слагаемых в правой части выражения (10) или (11) присутствует потенциал точечной массы, расположенной в начале координат.

Это означает, что следует рассматривать решение полной системы уравнений (5), описывающее гравитационное поле вблизи особенности типа точечного источника. Однако метрика (2) не совпадает с метрикой Шварцшильда [14], поэтому соответствующее решение отличается от решения Шварцшильда, что видно уже из данных на рис. 1, которые содержат, например, логарифмическую особенность, которой нет в стандартном решении Шварцшильда [6−8, 14, 20].

Геометрия объектов, содержащих логарифмическую особенность и точечные массы, ранее не была исследована. Поэтому представляется интересным изучить как сами объекты, так и орбитальное релятивистское движение частиц вокруг этих объектов.