Арифметическая средина. 
Инженерная геодезия

Если одна и та же величина измерена и получены результаты, , …, необходимо определить наиболее надежный результат измеряемой величины.

Если принять, что истинное значение измеряемой величины «X», то получаем ряд абсолютных погрешностей:

Сложим правые и левые части уравнения, т. е. образуем сумму погрешностей этого ряда измерений:

Отсюда:

где — арифметическое среднее из результатов измерений.

Разность — истинная погрешность арифметического среднего. При неограниченном возрастании числа измерений :

Следовательно, с увеличением числа измерений. Поэтому принято считать, что арифметическое среднее является наиболее надежным значением величины при любом числе измерений.

Средняя квадратическая погрешность одного измерения

Пусть имеем ряд измерений одной и той же величины.

В этом ряде:

— измеренные значения;

— истинное значение;

— абсолютная истинная погрешность каждого измерения;

— число измерений.

С какой средней погрешностью произведено одно измерение, любое из этого ряда? Например, ряд такой: -3; 0; +1; -2; 0; +1; -1; 0; +2; +2.

Наиболее естественно взять для этого ряда среднее значение погрешности, т. е. найти среднее арифметическое значение из абсолютных величин погрешностей.

Т.е. в данном ряде каждое измерение выполняли со средней с погрешностью .

Можно все погрешности записать в ряд в порядке возрастания их величин и определить среднюю цифру ряда и принять ее за вероятную погрешность любого одного измерения этого ряда, т. е. таким образом находится вероятная погрешность .

0;0;0;1;1; 1;2;2;2;3.

Т.е. в данном ряде каждое измерение выполняли с вероятной погрешностью .

Из примера видно, что результаты неравны, причем, т. е. средняя погрешность строжеоценивает результат и в этом ее преимущество перед .

Карл Фридрих Гаусс (1777−1855 гг.) — немецкий математик и астроном предложил погрешность одного измерения определять по средней квадратичной погрешности. Суть его предложения состоит в том, что каждая погрешность ряда возводится в квадрат, затем складываются все погрешности, полученная сумма делится на число измерений и извлекается квадратный корень. Полученную погрешность одного измерения Гаусс назвал средней квадратической погрешностью (СКП). Она обозначается:

В пр…

В этом случае оценку точности производят по относительной погрешности: отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительная погрешность записывается обыкновенной дробью, в числителе которой I, а в знаменателе — число, показывающее на какую величину измерения допускается погрешность в единицу данной меры.

Например,, т. е. 1 см на 10 000 см или 1 см на 100 м.