Аналитический способ определения площадей

Площади вычисляют по результатам измерений линий и углов на местности с применением формул геометрии, тригонометрии и аналитической геометрии. Исходными данными для вычисления площадей данным способом служат координаты вершин многоугольника. Если по результатам измерений на местности определены координаты вершин замкнутого многоугольника, то его площадь может быть определена аналитическим способом. Пусть требуется вычислить площадь полигона 1−2-3−4 (рисунок 2), координаты вершин которого известны: 1 (X1, Y1); 2 (Х2, Y2); 3 (Х3, Y3); 4 (Х4, Y4). Из рисунка 2 видно, что площадь Р данного четырехугольника представляет собой алгебраическую сумму и разность площадей трапеции:

Р = 0,5 [(Х1 + Х2) (Y2 — Y1) + (X2 + X3) (Y3 — Y2) — (X3 + X4) (Y3 — Y4) — (X4 + X1) (Y4 — Y1)]. (2).

Раскрыв скобки, выполнив сокращение и приведение подобных членов, получим:

2Р = Х1(Y2 — Y4) + X2(Y3 — Y1) + X3(Y4 — Y2) + X4(Y1 — Y3).

или в общем виде для n-угольника можно записать.

2Р= УХi (Yi+1 — Yi-1). (2.1).

Подобным образом из уравнения (1.1) после преобразований можно получить:

• 2Р= Y1(X4 — X2) + Y3(X1 — X3) + Y3(X2 — X4) + Y4(X3 — X1)
• 2Р = УYi (Хi-1 — Xi+1). (2.2)

Согласно формулам (2.1) и (2.2) двойная площадь многоугольника равна сумме произведений всех абсцисс на разность ординат последующей и предыдущей вершин, или сумме произведений всех ординат на разность абсцисс предыдущей и последующих вершин.

Следует иметь ввиду, что сумма всех разностей абсцисс (или ординат) от первой до последней точки должна равняться нулю. Это свойство используется для контроля вычисления разностей в формулах (2.1) и (2.2).

Рисунок 2.

Погрешность вычислений площадей аналитическим способом не превышает 1:1000 вычисляемой площади.