Заключение. 
Схемы Рунге-Кутты

В ходе работы была составлена и отлажена программа для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и с помощью этой программы проведено ряд экспериментальных исследований свойств методов Рунге-Кутты второго и четвёртого порядка.

На определённом интервале значений шага интегрирования, с уменьшением шага ошибка интегрирования уменьшается (что согласуется с теорией), но на остальном интервале с уменьшением шага интегрирования ошибка увеличивается. Это связано с ростом числа вычислений и, следовательно, увеличением ошибки вычислений.

На интервале значений шага интегрирования, где влияние ошибки вычисления не велико, метод 4-го порядка даёт ошибку гораздо меньшую, чем метод 2-го порядка.

Гипотеза Рунге подтверждается только для таких значений шага, при которых влияние вычислительной ошибки незначительно. При дальнейшем уменьшении шага, пропорциональность нарушается, это объясняется тем, что гипотеза Рунге не учитывает влияние вычислительной ошибки. Коэффициент пропорциональности для метода четвертого порядка на несколько порядков меньше, чем для метода второго порядка, что согласуется с теорией.

Для значения шага h = 2, наблюдается лавинообразный рост ошибки, что объясняется тем, что при заданном значении шага нарушается устойчивость алгоритма как для метода второго, так и для метода четвёртого порядка. На рис. 3.4 наблюдается заметное отклонение решения, полученного численно, от точного значения искомой функции. Но даже для этого значения шага, наблюдается значительная разница между ошибками для методов второго и четвёртого порядков.

Для значения шага h = 1e-3, можно заметить более плавный рост ошибки, особенно для метода четвертого порядка, это объясняется тем, что влияние алгоритмической ошибки уменьшается, а вычислительной — возрастает. Графики точного значения функции и приближенных значений, полученных численно, совпадают, что говорит о хорошей точности методов Рунге — Кутты второго и четвертого порядков.

Для значения шага h = 1e- 7 графики ошибок для методов второго и четвертого порядков совпадают. Это можно объяснить тем, что для данного значения шага алгоритмическая ошибка мала для обоих методов и основное влияние на локальную ошибку оказывает вычислительная погрешность. Графики точного значения функции и приближенных значений, полученных численно, совпадают, что говорит о хорошей точности методов Рунге — Кутты второго и четвертого порядков. На интервале шага, где влияние вычислительной ошибки не велико, при одинаковых вычислительных затратах, метод Рунге — Кутты 4-го порядка, позволяет получить ошибку, значительно меньшую, чем метод 2-го порядка.

Существует такое значение шага, после которого дальнейшее его уменьшение ведёт только к увеличению вычислительных затрат и росту оценки ошибки, программа тратит машинное время впустую.