Умножение и деление на Руси

" Умножение — мое мучение, а с делением — беда" , — говорили в старину.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — особенно последнее.

В глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия — сложение и вычитание, да ещё так называемые «удвоения» и «раздвоение». Сущность русского старинного способа умножения состоит в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном удвоении другого числа. Если в произведении, например 24•5, множимое уменьшить в 2 раза («раздвоить»), а множитель увеличить в 2 раза («удвоить»), то произведение не изменится:

24•5=12•10=120.

Пример:

• 32•17
• 16•34
• 8•68
• 4•136
• 2•272
• 1•544

Деление множимого продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, одновременно удваивая множитель. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Значит.

32•17=1•544=544.

В предлагаемом примере, все числа делятся на 2 без остатка.

А как быть, если деление на 2 происходит с остатком?

Пример:

• 21•17
• 10•34
• 5•68
• 2•136
• 1•272
• 357

Если множимое не делится на 2, то от него сначала отнимается единица, а затем уже производится деление на 2. Строчки с четными множимыми вычеркиваются, а правые части строчек с нечетными множимыми складываются. То есть.

21•17=(20+1)•17=20•17+1•17.

Число 17 запомним (первая строка не вычеркивается), а произведение 20•17 заменим равным ему произведением 10•34. но произведение 10•34, в свою очередь, можно заменить равным ему произведением 5•68, поэтому вторая строка вычеркивается:

5•68=(4+1) •68= 4•68+68.

Число 68 запомним (третья строка не вычеркивается), а произведение 4•68 заменим ему равным произведением 2 •136. Но произведение 2•136 можно заменить ему равным произведением 1•272, поэтому четвертая строка вычеркивается. Значит, чтобы вычислить произведение 21•17, нужно сложить 17.68.272 — правые части именно с нечетными множимыми.

Произведения же с четными множимыми всегда можно заменить с помощью раздвоения множимого и удвоения множителя равными им произведениями. Поэтому такие строчки исключаются из вычисления окончательного произведения.

Шло время. В ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1941г.) изложено 27 способов умножения, причем автор отмечает; «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках, книгохранилищах, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках» .

И все эти приемы умножения — «шахматный», «загибанием», «задом наперед», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности.

Во времена М. Ломоносова действие умножения уже записывали почти так, как и в наше время. Только множимое называли «еличество», а произведение — «продукт» и, кроме того, не писали знак умножения.

Пример: 48 — Еличество. 8 — Множитель. 384 — Продукт, или произведение.

Известно, что М. В. Ломоносов знал наизусть всю «Арифметику» Магницкого. В соответствии с этим учебником маленький Миша Ломоносов умножение 48 на 8 объяснил бы так: «8-жды 8 есть 64, я 4 пишу под чертою, против 8, а 6 десятиц во уме имею. И дальше 8-жды 4 есть 32, и я З во уме держу, а к 2 приложу 6 десятиц, и будет 8. И сие 8 напишу подле 4, в ряд к левой руке, а 3 пока во уме суть, напишу в ряд подле 8, к левой же руке. И будет из умножения 48 с 8 произведение 384» .

Сейчас мы почти так же объясняем, только говорим по-современному, а не по-старинному и, кроме того, называем разряды. Например, 3 надо писать на третьем месте потому, что это будут сотни, а не просто «в ряд подле 8, к левой же руке» .

Что касается деления… В учебнике Л. Ф. Магницкого дается несколько способов деления. Некоторые из этих способов настолько трудные, что в них очень легко запутаться.

Разберем сейчас один из этих способов. Магницкий считает его изящным и простым.

Пусть требуется разделить 598 432 на 678. Сначала пишем первые цифры делимого 5984, под ним делитель 678. Делим 59 на 7 (678 близко к 700), получаем первую цифру частного 8 и пишем ее справа против делимого, умножаем 8 на 678: восемью восемь 64, отнимаем в уме 4 из 4 и пишем над 4 остаток 0; восемью семь 56, да 6 в уме—62, отнимаем 2 от 8, получаем в остатке 6 и пишем его над 8; 8X6=48, 48 +6=54, 59—54=5, значит, над 59 пишем остаток 5. Теперь к остатку 560 сносим следующую цифру делимого 3 и продолжаем действие в таком же порядке.

Закончив с трудом деление, наши предки считали обязательным проверить его один-два раза. Магницкий в данном случае ограничивается одной проверкой. Он рекомендует умножать с высших разрядов: 678×8=5424, еще раз. 678×8 = 5424 и 678×2= 1356; под этими числами подписывает остаток и складывает. Получает делимое. «Верно разделено» — писали в заключение в старину.

Вот как выглядела запись деления:

• 436
• 1792
• 5603
• 5984/
• 882
• 678
• 5424
• 5424
• 1356
• 436
• 5984 32 верно разделено

Как видим, этот способ очень напоминает тот, которым пользуемся мы. Вероятно, наш современный способ развился из этого. Других способов разбирать не будем.