Полный факторный эксперимент

Определение эксперимента

Моделью объекта будем считать одномерную функцию отклика. Если y — случайная одномерная величина, то ее математическое ожидание при фиксированном значении вектора Х определится.

M{y/Х}=M{y (Х)}=F (Х).

Функция 2k есть функция отклика и представляет собой среднее значение выходной переменной y при фиксированном значении вектора контролируемых параметров Х=(х1, х2,…, хk), задающих точку в k-мерном векторном пространстве.

Одномерная регрессионная модель эксперимента представима в виде.

.

где =(1, 2,…, n) T — р-мерный вектор неизвестных параметров; {fj=(х1, х2,…, хр)} - известные функции. Функция линейна по неизвестным параметрам j.

При планировании эксперимента необходимо определить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться принципиальные ограничения для значений факторов, а также ограничения, определяющиеся существующей аппаратурой, технологией, организацией производства и управления.

При оптимизации обычно используется априорная информация, т. е. информация, содержащаяся в результатах предыдущих опытов.

Наилучшим условием, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация уровней факторов. Каждая комбинация факторов является многомерной точкой в факторном пространстве, которую можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Эту точку называют основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

После того как выбран основной уровень, необходимо перейти к выбору интервала варьирования, представляющего собой некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровни факторов.

При выборе интервала варьирования полезны следующие сведения априорной информации: точность, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, кривизна поверхности отклика и диапазон изменения параметра оптимизаций в разных точках факторного пространства.

Рассмотрим эксперимент, в котором проводится N измерений зависимой переменной y в некоторых точках факторного пространства. Пусть в u-м опыте в точке Х=(х1u, х2u,…, хku) определено значение переменной Yu. В результате будет получена совокупность измерений Y1, Х1; Y2, Х2 ;…; YN, ХN.

На рис. 6.2 приведена схема эксперимента, который носит название Nэксперимент.

Рис. 6.2.

Набор точек называется планом эксперимента. Точки при этом необязательно должны быть различными. Матрица.

называется матрицей плана эксперимента (N). Совокупность точек Х1, Х2,…, ХN плана называется спектром плана. Для каждого u-го наблюдения или в векторной форме M{Y}=Х, где Х={Хju} - матрица известных коэффициентов, называемая матрицей независимых переменных, или матрицей планирования.