Разложение сигналов по функциям Лагерра

Сигнал х (/), определенный на интервале (0, оо), можно представить в виде разложения по системе функций Лагерра:

Значения коэффициентов)^,/ = 0,1,…, вычисляются по формуле.

Совокупность коэффициентов X_j, i = 0,1,…, представляет спектр сигнала в базисе функций Лагерра.

Показано, что энергия сигнала, представленного в виде разложения по функциям Лагерра, определяется выражением.

Если для аппроксимации сигнала используется усеченный ряд.

то для оценки качества аппроксимации сигнала может быть использована величина.

характеризующая часть энергии сигнала, приходящуюся на первые N членов разложения.

Важным пунктом спектрального анализа с использованием функций Лагерра является выбор значения масштабного коэффициента a. Его начальное значение рекомендуется выбирать так, чтобы длитсльности исследуемого сигнала и функции Лагерра с номером i^N/2 были примерно равны. В последующем значение коэффициента, а уточняется.

Функции Лагерра получили широкое распространение в системах обработки сигналов различного назначения. Эго в значительной степени объясняется простотой их генерирования. Оказывается, что функция Лагерра /,(/)по форме совпадает с импульсной характеристикой системы, состоящей из последовательно соединенных простых электрических цепей.

При мер. Звено затухания (полузапаздывания) описывается импульсной переходной функцией.

График функции показан на рис. 4.2 сплошной линией. Используем для аппроксимации данной функции первые четыре составляющие системы Лагерра. Получены следующие значения коэффициентов: Л.₀ =0,271; А., =-0,271; А., =-0,2 547; А₃ =-0,089.

Таким образом, аппроксимирующая функция описывается формулой.

График аппроксимирующей функции изображен на рис. 4.2 пунктирной линией.

Рис. 4.2. Графики импульсной переходной функции (сплошная линия) и аппроксимирующей функции (пунктирная линия).