Определенный интеграл. 
Информационные технологии в юридической деятельности

Пусть у = f (x) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция и F (x) — ее первообразная. Тогда разность значений первообразной F (x) в точках b и а:

называется определенным интегралом функции f (xна отрезке [а, b].

Принято определенный интеграл обозначать так: f{x)dx. В соответст- ь а

вии с определением Jf (x)dx = F (b) — F (a).

Последнюю формулу называют формулой Ньютона—Лейбница. Применяют также и такое обозначение

Здесь числа awb называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Замечание 1. Формула Ньютона —Лейбница сохраняет и свою силу для функций f (x): а) не являющихся возрастающими и б) принимающих не только положительные, но и нулевые значения. Во всех случаях она задает площадь фигуры, ограниченной графиком данной функции, прямыми х = а, х — b и осью Ох.

Замечание 2. Если функция отрицательна, то площадь криволинейной трапеции, расположенной в этом случае под осью Ох, выражается интегралом со знаком «минус».

Замечание 3. К определенным интегралам могут приводить и другие задачи, не связанные с вычислением площадей. В любом случае на первый план выступает определение первообразной, знание которой позволяет вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона —Лейбница.

Свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

3. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования:

4. Теорема о среднем. Между точками an b имеется такая точка с, что Доказательство. По формуле Ньютона—Лейбница.

Ппименим к погжообпязной F (x rlionMv. nv Лягпанжа:

Вычисление площадей. Рассмотрим приложения интеграла к вычислению площадей, объемов. Если плоская фигура ограничена прямыми х = а, х = b (а < Ь) и кривыми у = у_х(х), у = у₂(х), причем г/,(.г) < у₂(х) для всех х? а, Ь, то ее площадь вычисляется по формуле.

Пример Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми х = 0, х = 2 и кривыми у = 2у = 2х — х² (рис. 10.16).

Рис. 10.16. Площадь плоской фигуры.

Решение. Так как максимум функции у = 2х — х² достигается в точке х = 1 и равен 1, а функция у = 2^х > 1 на отрезке 10, 21, то.

Как очевидно из решения этого примера, площадь заштрихованной области есть не что иное, как разность двух криволинейных трапеций.

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой р = р (ф) и лучами <�р, = а и ср₂ = р, выражается интегралом.

Вычисление объемов. Пусть у = /(х) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, /(х) > 0. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =/(х), у = 0, х = а, х = Ь. Можно доказать, что объем V этого тела выражается формулой